Степенная функция с дробным показателем

Рассмотрим функцию

,

где - несократимая дробь. Условимся, что q > 0, тогда знак дроби будет определяться знаком числителя р.

По определению, для тех х, при которых существует.

Рассмотрим два случая: а) р > 0, б) p < 0.

В первом случае имеем степенную функцию с дробным положительным показателем.

Если q четное, то функция определена на полуинтервале (0, +∞). Если же q нечетное, то функция определена на всей числовой оси, поскольку из отрицательных чисел можно извлекать корень с нечетным показателем. Например:

а) функция задана в виде . Определена только на полуинтервале (0, +∞), рис. 15;

б) функция определена на всей числовой оси (рис. 16);

в) функция определена при любом х (рис. 17), т.е. интервал симметричен относительно нуля;

г) функция (рис. 18).

 

Рис. 15 Рис. 16

 

 

Рис. 17 Рис. 18

 

 

Рис. 19 (с различными положительными показателями)

Рис. 20 (с отрицательными показателями)

 

Пусть теперь р < 0. Получим степенную функцию с дробным отрицательным показателем. Функция , где р и q- натуральные числа.

.

Поскольку функция возрастает в интервале (0, + ∞), то функция убывает на этом же интервале.

На рис. 19 показаны графики степенных функция с различными положительными показателями, а на рис. 20 с отрицательными показателями. На обоих рисунках графики построены для х > 10.