Модели ARIMA

В эконометрике анализ временных рядов с использованием оценки спектральной плотности (спектральный анализ) играет, как правило, вспомогательную роль, помогая установить периоды характерных циклов. Наибольшее распространение получили параметрические модели стационарных случайных процессов — модели авторегрессии и скользящего среднего.

Пусть X_t — значения стационарного случайного процесса, m=EX_t, x_t=X_t-m. Введем случайный процесс x(t) ÎN(0,s²), для которого Ex_t=0, Dx_t=s², Ex_tx_t+t=0 (t¹0). Случайный процесс x_t будем называть белым шумом.

Модель AR(1) авторегрессии первого порядка имеет вид

x_t= a x_t-1+ξ_t, (12.1)

где |a|<1 — необходимое условие стационарности процесса x_t. В случае a=1 получаем модель случайного блуждания

x_t=x_t-1+ξ_t. (12.2)

Временной ряд (12.2) является нестационарным. Пусть x₀=0. Тогда

Ex_t=0, Dx_t=s²t,

а для стационарного процесса дисперсия не должна зависеть от времени t. Допустим, что для модели (12.1) дисперсия постоянна: Dx_t=s_x². Тогда из формулы (12.1) следует, что

(12.3)

Наши вычисления показывают, что действительно, процесс авторегрессии первого порядка стационарен только при условии |a|<1. При этом надо дополнительно потребовать, чтобы начальное значение x₀ было случайной величиной, причем Ex₀=0, Dx₀=s_x².

Если же исходить из фиксированного (неслучайного) значения x₀=0, то можно показать, что значение дисперсии (12.3) устанавливается в пределе при t®∞.

Модель AR(2) авторегрессии второго порядка определяется формулой

x_t=a₁x_t-1+ a₂x_t-2+ξ_t . (12.4)

Условие стационарности в этом случае сводится к требованию, чтобы корни (в общем случае комплексные) уравнения

1- a₁z^-1 - a₂z^-2=0 (12.5)

удовлетворяли условию |z|<1.

Уравнение (12.5) получается из (12.4) заменой x_t на 1, x_t-1 на z^-1, x_t-2 на z^-2 и ξ_t на 0.

Это же правило можно использовать и в случае AR(1), получается уравнение 1-az^-1=0, решение которого z=a удовлетворяет условию |z|<1.

Модель AR(p) авторегрессии p-го порядка определяется формулой

x_t=a₁x_t-1+ a₂x_t-2+…+ a_px_t-p+ξ_t . (12.6)

и определяет стационарный временной ряд при условии, что корни уравнения

1- a₁z^-1 - a₂z^-2-…- a_pz^-p=0 удовлетворяют условию |z|<1.

Модель MA(1) скользящего среднего (Moving average) первого порядка имеет вид x_t=ξ_t+bξ_t-1 и определяет стационарный временной ряд при любых значениях параметра b. Аналогично определяется модель MA(q) скользящего среднего q-го порядка:

x_t=ξ_t+b₁ξ_t-1+…+ b _qξ_t-q. (12.7)

Обобщая определения (12.6) и (12.7), введем модель авторегрессии-скользящего среднего ARMA(p,q):

x_t= a₁x_t-1+ …+ a_px_t-p +ξ_t+b₁ξ_t-1+…+ b _qξ_t-q , (12.8)

числа p и q определяют порядок модели ARMA(p,q).

При изучении нестационарных временных рядов используется более общая модель ARIMA(m,d,n) — модель авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего, в русской аббревиатуре — АРПСС. По сравнению с ранее обсуждавшимися моделями модель ARIMA предполагает d– кратное применение оператора конечных разностей

x_t = y_t - y_t-1 (12.9)

к исходному временному ряду.

Однократное применение операции (12.9) устраняет линейный тренд. Действительно, если y_t=а+bt, то y_t-1=а+b(t-1) и x_t=b. Повторяя эту операцию несколько раз, можно получить (с некоторым приближением) стационарный временной ряд, который описывает модель ARMA. При восстановлении исходного ряда производится суммирование его членов, что соответствует интегрированию в непрерывном времени. Последнее обстоятельство проясняет смысл названия модели ARIMA.