Временной ряд как случайный процесс

Пусть значение экономического показателя x(t) в любой момент времени t представляет собой случайную величину X(t). Предположим, что случайная величина X(t) является непрерывной. Тогда существует плотность вероятности p(x,t), по которой определяется вероятность случайного события

Рассмотрим также математическое ожидание

(11.1)

и дисперсию

(11.2)

Если плотность вероятности p(x,t)=p(x) не зависит от времени, то математическое ожидание и дисперсия будут постоянными величинами.

Рассмотрим два произвольных момента времени t₁ и t₂. Случайные величины X(t₁) и X(t₂) харатеризуются плотностью совместного распределения вероятностей p(x₁,t₁; x₂,t₂). При этом ковариация cov(X(t₁),X(t₂)) вычисляется по формуле

Аналогично рассматривается значение случайного процесса X(t) в трех, четырех и более точках t_k, при этом вводится многомерная плотность распределения p(x₁,t₁; x₂,t₂; …, x_m,t_m,).

Случайный процесс называется стационарным, если при сдвиге по времени на произвольную величину T функция распределения (а значит и плотность) не изменится. В этом случае плотность p(x,t) не зависит от времени: p(x,t)=p(x,t+T)=p(x,0), а двумерная плотность p(x₁, t₁; x₂, t₂) зависит от разности t=t₁-t₂. Введя автокорреляционную функцию случайного процесса K(t)=cov(X(t),X(t+t)), можно доказать, что для нее выполняются следующие свойства:

1) K(-t)=K(t);

2) |K(t)|£K(0);

3) K (0)=DX.

Иногда функцию K(t) называют автоковариационной, а термин «автокорреляция» связывают с нормированной величиной r(t)=K(t)/ K(0).

Напомним, что для стационарного случайного процесса математическое ожидание m=EX(t) и дисперсия DX=E(X(t)-m)² являются постоянными величинами. Если о случайном процессе известно, что EX и DX постоянны, а корреляционная функция зависит только от t (и не зависит от t), то случайный процесс называется стационарным в широком смысле.

Пусть значения временного ряда x_t ( t = 1,2,...n) являются равноотстоящими по времени значениями стационарного случайного процесса X(t) с математическим ожиданием μ=EX=0 и корреляционной функцией K(τ)=E(X(t)X(t+τ)), при этом дисперсия DX=K(0)ºσ². Несмещенной оценкой величины m является среднее по времени

В качестве оценки корреляционной функции K(τ) при t=0,1,2,...n-1 можно принять величину

Важной характеристикой стационарного случайного процесса является спектральная плотность

(11.3)

Если, например,

то

Из (11.3) следует, что

Функция K(t) четная, поэтому для спектральной плотности имеем также формулу:

Для S(ω) принимается оценка

где весовые коэффициенты W_j вводятся для сглаживания случайных осцилляций вычисляемых значений S(ω). На практике вычисление корреляционных функций и спектральной плотности выполняется с использованием статистических компьютерных пакетов, например, системы Statistica.