Интерполяционный полином Лагранжа
Пусть имеется функциональная зависимость y=f(x), для которой нам известны отдельные точки (xi,yi), i=0,1,2,…,n. Многочлен y=a0+a1x+a2x2+…+anxn, график которого проходит через все данные точки, называется интерполяционным многочленом. Определение этого многочлена по методу Лагранжа начнем с простейших случаев.
Случай 1. Через одну точку (x0 ,y0), как известно, можно провести пучок прямых
y=y0+b(x-x0) (2.1)
(а также вертикальную прямую x=x0).
Действительно, уравнение прямой с угловым коэффициентом b имеет вид y=a+bx, при этом должно выполняться равенство y0=a+bx0. Вычитая второе равенство из первого, получим уравнение y-y0=b(x-x0), равносильное уравнению (2.1).
Случай 2. Через две различные точки (x0,y0), (x1,y1) проходит одна и только одна прямая. Если x0 ¹x1, то ее уравнение имеет вид
(2.2)
Оно получается почленным делением уравнения y-y0=b(x-x0) на равенство y1-y0=b(x1-x0).
Уравнение (2.2) можно привести к виду
(2.3)
Вместе с тем можно непосредственно убедиться в том, что уравнение (2.3) определяет линейную зависимость между величинами y и x и что графиком этой зависимости является прямая линия, которая проходит через точки (x0,y0) и (x1,y1).
Случай 3. Многочлен второй степени (квадратичная функция), график которой проходит через три точки (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2), представляется в виде
Заметим, что дроби при величине yi (i=0,1,2) обращаются в единицу, если x=xi и равны нулю при x=xk (k¹ i).
Случай «n+1». Теперь ясно, что интерполяционный полином Лагранжа n-ой степени, график которого проходит через n+1 точку (xi,yi), i=0,1,2,…,n, можно записать в виде
где
При этом функция Lk(x) равна 1 при x=xk и равна нулю в остальных узлах xj (j¹k).
Заметим, однако, что в эконометрике необходимость в использовании интерполяционного многочлена степени выше второй встречается крайне редко. Как правило, предполагается, что эмпирические данные (xi,yi) соответствуют какой-нибудь простой зависимости между переменными, например, линейной, но содержат ошибки измерений, вследствие чего точки (xi,yi) не лежат на одной прямой (рис.5).
Рис.5. Расположение эмпирических данных по отношении к линейной зависимости.