Обработка результатов прямых измерений

Целью обработки результатов прямых измерений является определение среднего арифметического значения измеряемой физической величины как наиболее близкого к истинному значению, отклонение среднего арифметического от истинного значения с вероятностью , а также выявление конкретного вида закона распределения плотности вероятностей случайной погрешности .

Для определения среднего арифметического значения измеряемой физической величины необходимо выполнить равноточных измерений физической величины

. (2.19)

Среднее арифметическое значение фактически является оценкой измеряемой физической величины . Затем вычисляется абсолютная погрешность каждого из измерений.

. (2.20)

Далее по известной в теории вероятностей формуле находится оценка среднеквадратического отклонения измерений, характеризующая точность метода измерений

. (2.21)

Т.к. среднее арифметическое само обладает случайной погрешностью, то вводится понятие оценки среднеквадратического отклонения среднего арифметического

. (2.22)

Видно, что с увеличением числа измерений одной и той же физической величины точность оценки среднего арифметического увеличивается.

Оценка среднеквадратического отклонения среднего арифметического указывает на границы интервала, в котором может находиться истинное значение физической величины. В зависимости от класса точности измерительного прибора определяется доверительная вероятность . Затем в зависимости от числа n измерений физической величины задается значение интеграла вероятностей (при ) или вероятность в законе распределения Стьюдента (при ). По таблицам 2.1 или 2.2, определяется или , а затем вычисляется доверительный интервал отклонения от истинной оценки среднего арифметического значения измеряемой величины или с вероятностью .

Таким образом, истинное значение измеряемой физической величины находится между нижней и верхней границами

(2.23)

Результат измерений записывается в виде

с вероятностью . (2.24)

Обработка результатов прямых измерений ставит своей целью выявление конкретного вида закона распределения плотности вероятностей случайной погрешности. Для этого производятся многократные измерения одной и той же физической величины . Полученные значения , где , содержат погрешности . Полученный массив погрешностей используется для построения экспериментальной зависимости . Для ее построения весь диапазон значений погрешности от до делится на одинаковые интервалы, число которых N находится по правилу Старджесса

. (2.25)

Ширина каждого интервала вычисляется в соответствии с выражением

. (2.26)

Затем находится число значений , где , случайной погрешности , приходящихся на каждый j – й интервал, причем

. (2.27)

Вероятность попадания погрешности в j – й интервал определяется как доля значений в общем числе значений

. (2.28)

Распределение плотности вероятностей случайной погрешности в пределах каждого - го интервала постоянна и равна

. (2.29)

Строится гистограмма – ступенчатая характеристика с уровнями на каждом интервале d, отвечающая условию

. (2.30)

Пример гистограммы приведен на рисунке 2.2

Рисунок 2.2 – Гистограмма

 

На основе гистограммы строится практическая зависимость распределения плотности вероятностей , которая называется полигоном. Для ее построения соединяют отрезками прямых середины верхних сторон всех прямоугольников гистограммы.

Теоретическая зависимость , наилучшим образом описывающая практическую зависимость распределения плотности вероятностей ищется подбором некоторой аналитической функции , где - постоянные коэффициенты, определяемые в соответствии с методом моментов. Суть метода моментов заключается в том, чтобы основные характеристики теоретического и практического законов распределения плотности вероятностей совпадали. Вместе с тем теоретическая зависимость должна удовлетворять основным свойствам законов распределения

(2.31)

Если в качестве теоретической зависимости выбран нормальный закон распределения плотности вероятностей, то центр распределения должен быть равен и среднеквадратическое отклонение погрешности должно быть равно оценке среднеквадратического отклонения измерений. Таким образом, выражение для теоретического закона распределения плотности вероятностей примет вид

. (2.32)

Однако теоретический закон распределения от практического может существенно отличаться. Для оценки степени соответствия этих законов применяют критерий согласия Пирсона (χ² - «хи-квадрат»). С этой целью вычисляют

, (2.33)

где - вероятность попадания погрешности в -й интервал в теоретическом законе распределения.

Вероятность можно вычислить по формуле

(2.34)

где - границы -го интервала, или приближенно по формуле

, (2.35)

где - значение теоретического закона распределения, вычисляемое по формуле (2.32), в точке , причем

. (2.36)

Чем меньше χ² , тем ближе теоретический закон распределения к практическому. Граничные значения , по которым можно судить о соответствии теоретического закона распределения практическому, приведены в таблице 2.3.

Граничное значение как функцию параметров и выбирают из приведенной таблицы 2.3, где - число степеней свободы, определяемое из выражения ; - количество числовых параметров теоретического закона, оцененных по результатам измерений; - уровень значимости, численно равный вероятности признания практического закона распределения не соответствующего теоретическому.

Таблица 2.3 – Таблица критических значений

0.01	0.05	0.10	0.50
	0.020	0.103	0.211	1.386
	0.115	0.352	0.584	2.366
	0.297	0.711	1.064	3.357
	0.554	1.145	1.610	4.351
	0.872	1.635	2.204	5.348
	1.239	2.167	2.833	6.346

 

Для нормального закона распределения принимают: ; - минимальное. Расчетное значение χ² сравнивают с граничным . Если выполняется условие

, (2.37)

то гипотезу о соответствии практического закона распределения теоретическому принимают за истину. В противном случае считают гипотезу не соответствующей действительности и строят новую, которая также проверяется.