Эргодическое свойство марковского случайного процесса.

Существуют марковские случайные процессы, обладающие эргодическим свойством, которое состоит в том, что по истечении достаточно продолжительного промежутка времени (теоретически при t ® ¥ ) вероятности состояний системы практически не зависят от того в каком состоянии система находилась в начальный момент времени t =0 и не зависят от самого промежутка времени t. То есть в системах, обладающих эргодическим свойством, должно осуществляться статически однородное блуждание по состояниям.

Для того, чтобы процесс, протекающий в системе был однородным нужно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние были простейшими, т. е., чтобы элементы матрицы интенсивностей не изменялись во времени. В дальнейшем матрицу интенсивностей, у которой все элементы постоянны, будем называть простейшей матрицей. Марковский случайный процесс, отвечающий такой матрице, назовем простейшим марковским процессом. Размеченный граф состояний системы, у которого все ребра являются постоянными, назовем размеченным графом состояний.

Однородности процесса недостаточно для того, чтобы он обладал эргодическим свойством. Нужно, чтобы процесс еще обладал свойством транзитивности. При рассмотрении конечного числа состояний в системе свойство транзитивности будет выполняться, если между каждой парой состояний системы x_ί и x_ј

существует маршрут

При исследовании эргодических свойств в системе широко применяется оперативный метод решения дифференциальных уравнений для отыскания вероятностей состояний p_ί (t). Обозначим p_ί(s) изображение по Карсону - Хэвисайру вероятности p_ί (t)

Тогда система уравнений для вероятностей состояний

соответствует системе алгебраических уравнений для изображения p_ί(s):

решив эту систему уравнений относительно неизвестных p_ί(s ) можно по формуле обращения

найти искомые вероятности.

При исследовании стационарного режима вероятности p ί, определяемые из выражения

ℓim p_ί(t)= p_ί

t®¥

проще отыскивать из системы линейных однородных алгебраических уравнений

, откуда

(11)

Для эргодической системы с конечным числом состояний n+1 решения уравнений (11) всегда существует и является единственным.

Лекция №21