Свойства дискретного преобразования Фурье

 

Ряд свойств непрерывных преобразований Фурье, нетрудно сформулировать и для ДПФ. Рассмотрим некоторые из них.

1. Линейность

Если и , - дискретные сигналы, а и - их ДПФ, то ДПФ сигнала равно

2. Сдвиг во времени

Если дискретному сигналу , соответствует ДПФ , то ДПФ сигнала равно m – целое число. Иными словами, сдвиг отсчётов последовательности на m интервалов приводит лишь к изменению фазочастотной характеристики ДПФ. Следует отметить, что в отличие от аналогового сигнала, когда s(t) целиком сдвигается по оси времени, для дискретного сигнала имеется в виду круговой сдвиг. Например, при m>0 отсчёты поочерёдно переносятся в конец последовательности.

3. Свёртка сигналов

Если дискретным сигналам и , соответствуют ДПФ и , то ДПФ сигнала

(2.48)

называемого круговой (периодической) свёрткой, равно

(2.49)

Полученный результат можно распространить с некоторыми уточнениями и на случай апериодической (линейной) свёртки, когда дискретные функции и не являются периодическими и содержат разное число отсчётов (и ). Очевидно, что алгоритму число отсчётов в совокупности будет равно Для получения такого же периода в круговой свёртке необходимо последовательности и дополнить нулевыми отсчётами, чтобы каждая из них содержала в итоге по N отсчётов.

Итак, вычисление ОДПФ произведения даёт такой же результат, как вычисление круговой свёртки сигналов и .

В заключение отметим, что алгоритм вычисления ДПФ (2.46) можно использовать для вычисления ОДПФ. Для этого необходимо все отсчёты сигнала заменить отсчётами спектра , поменяв их, кроме , местами: S[1] c S[N-1], S[2] c S[N-2] и т.д., полученный результат разделить на N.

Лекция №7