Интегральное преобразование Фурье

 

Изложенный в п.2.2 гармонический анализ периодических сигналов можно распространить на периодические сигналы. Пусть такой сигнал s(t) задан в виде некоторой функции, отличной от нуля в промежутке . Выделив произвольный отрезок времени Т, включающий в себя промежуток , мы можем представить заданный сигнал в виде ряда Фурье:

(2.19)

где а коэффициенты в соответствии с формулой (2.7)

(2.20)

Совмещая (2.19) и (2.20), получаем:

(2.21)

Здесь учтено, что

Ряд (2.21) вне отрезка (0, Т) определяет периодическую функцию с периодом Т, полученную повторением исходной функции s(t) вида где k – целое число. Устремляя период Т к бесконечности, осуществляем предельный переход к непериодическому сигналу. При этом величина становится бесконечно малой произведение имеющее смысл текущей частоты, обозначается , а сумма заменяется на интеграл:

(2.22)

Это равенство называется интегральным преобразованием Фурье.

Внутренний интеграл, являющийся функцией частоты называют спектральной плотностью:

(2.23)

После подстановки (2.23) в (2.22) получаем выражение для s(t) через спектральную плотность:

(2.24)

Значение спектральной плотности отображает природу сигнала, а временная характеристика только форму.

Можно решить и обратную задачу: по спектральной плотности найти сигнал.

Условие существования спектральной плотности сигнала (классической). Сигналу s(t) можно сопоставить , если этот сигнал абсолютно интегрируем:

Для ряда неинтегрируемых сигналов может существовать обобщенная функция спектральной плотности (гармонические периодические сигналы (sin, cos) на бесконечной оси времени), 1(t), s(t)=const.

Таким образом, интегральное преобразование Фурье (2.22) обычно представляют в виде пары преобразований. Выражения (2.23) и (2.24) называются собственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Выражения (2.23) отличается от (2.24) только множителем и знаком в экспоненциальном множителе под интегралом, то есть прямое и обратное преобразования Фурье симметричны.

Спектральная плотность обладает всеми свойствами спектральных коэффициентов (2.7), с отличием в том, что в спектре непериодического сигнала присутствуют все частоты.

Тот факт, что в предыдущем рассмотрении использовались функции времени вовсе не означает, что область применения преобразования ограничивается лишь временными сигналами. Для того чтобы использовать преобразование Фурье, например, по отношению к пространственным сигналам. В этом случае в смысле понятия «время» используется понятие «координата», а под подразумевается «пространственная частота».

Универсальность преобразования Фурье позволяет распространить его и на двумерные сигналы, описываемые действительной функцией двух переменных s(x,y). примером двумерного пространственного сигнала, как уже отмечалось, может служить изображение [21].

Для такого сигнала существует двумерное преобразование Фурье:

(2.25)

Поскольку ядро двумерного преобразования Фурье разделимо по переменным, то преобразование может быть выполнено в два этапа. Сначала находится одномерное преобразование Фурье по переменной х при фиксированной переменной y:

(2.26)

а затем – по у:

(2.27)

Преобразование Фурье допускает обобщение и на многомерный случай по принципам, аналогичным (2.25). В качестве примеров многомерных сигналов можно назвать волновые поля, а также двумерные изображения, изменяющиеся во времени.

Лекция №6