Разложение в ряд Фурье по системе тригонометрических функций

Для разложения в ряд Фурье в тригонометрическом базисе, функция, описывающая сигнал, должна удовлетворять следующим условиям:

1) быть периодической;

2) быть интегрируемой;

3) иметь конечное число максимумов и минимумов;

4) не обращаться в бесконечность при разрывах.

При разложении периодического сигнала в ряд Фурье по тригонометрическим функциям в качестве ортогональной системы берут следующие функции:

(2.12)

где Т – период функции s(t).

Интервал ортогональности совпадает с периодом Т функции s(t).

Норма функций, составляющих тригонометрических базис, как не сложно установить по соотношению (2.4):

Таким образом, ряд Фурье в рассматриваемом базисе, в соответствии с (2.6) имеет вид:

(2.13)

Коэффициенты ряда вычисляются, исходя из соотношения (2.7), по формулам:

 

(2.14)

Помимо показанной выше, в литературе встречаются и другие формы записи тригонометрического ряда Фурье. Одна из них использует вместо пар синусов и косинусов только косинусные функции:

(2.15)

Каждую гармонику можно описать её амплитудой и начальной фазой , так как тогда величины и трактуются как амплитуда и фаза каждой гармоники соответствующей частоты. Такая запись ряда полностью математически соответствует (2.13), в чём не трудно убедиться, используя тригонометрические соотношения.

В литературе распространено другое соотношение для вычисления фаз составляющих, а именно:

(2.16)

и соответственно .

Такая формулировка вносит некоторую пятницу, связанную с тем, что оно верно лишь для углов находящихся в одной четверти (и ). На наш взгляд, определение в виде:

Спектральная диаграмма периодического сигнала

An

(2.17)

	По амплитудной диаграмме легко оценить % содержание отдельных гармоник

гораздо предпочтительнее. Под arg понимается главное значение аргумента комплексного числа , которое в зависимости от знаков и следует вычислять по формулам:

(2.18)

При этом считаем, что главное значение аргумента находится в диапазоне . Такой диапазон выбран из соображений удобства интерпретации физического смысла величины, поскольку если придерживаться диапазона , принятого в математике, то мы приходим к отрицательным значениям сдвига фазы, что не совсем удобно.

Две характеристики – амплитудная и фазовая полностью определяют структуру частотного спектра периодического сигнала. Наглядное представление о «ширине» спектра сигнала даёт графическое изображение спектра амплитуд. Для исчерпывающей характеристики спектра это изображение должно быть дополнено заданием начальных фаз каждой гармоники или отдельным построением фазового спектра по аналогии с амплитудным.

Спектр периодической функции называется линейчатым или дискретным, так как он состоит из отдельных «линий» соответствующих дискретным частотам: и т.д.

Использование рядов Фурье для гармонического анализа сложных периодических сигналов в сочетании с принципом наложения представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных систем на прохождение сигналов. Следует, правда, отметить, что наиболее распространённые в радиотехнике сигналы не отвечают условию быстрой сходимости ряда Фурье, представляющего сигнал, и для удовлетворительного воспроизведения формы сигналов обычно необходимо суммировать большое число гармоник. Следует поэтому считать, что в случае сложных периодических сигналов применение методов ряда Фурье удобнее для анализа сигналов, нежели для их синтеза.

С увеличением числа суммируемых гармоник сумма ряда приближается к s(t) всюду, кроме точек разрыва функции, где образуется выброс. Это вполне соответствует представлениям о сходимости ряда Фурье в среднем, высказанным в предыдущем разделе.