Разложение в ряд Уолша

 

Особый класс систем ортогональных функций составляют системы кусочно-постоянных функций, таких как функции Уолша, Адамара и Хаара. Эти системы имеют большое практическое значение, особенно для цифровых систем, поскольку они характеризуются высокоэффективными алгоритмами быстрых преобразований.

Рассмотрим подробнее функции Уолша.

Система функций Уолша (рис. 1.2) обозначается , где n – целое положительное число (номер функции в системе). По определению при n=0:

(1.9)

Остальные функции Уолша (при n=1,2,3,…) могут быть получены произведением соответствующих функций Радемахера Подробное описание правил образования системы функций Уолша приводится во 2-й главе диссертации. При автоматизированных расчётах наиболее удобна форма представления функций Уолша с помощью матриц Адамара.

Остановимся на некоторых свойствах функций Уолша:

1. Функции Уолша принимают только два значения: -1 и 1.

2. Любые две функции Уолша ортогональны. Система функций Уолша представляет собой полную ортонормированную систему на интервале [0;1).

3. Функции Уолша являются периодическими функциями с периодом, равным 1.

4. Функции Уолша обладают свойством мультипликативности, т.е. произведение любых двух функций Уолша является также функцией Уолша.

Коэффициенты ряда Фурье-Уолша находятся по формулам:

(1.10)

(1.11)

Ещё одной важной особенностью системы функций Уолша является то, что вычисление коэффициентов по формулам (1.11) с помощью численного интегрирования сводится лишь к операциям сложения над значениями s(t). Это позволяет создавать алгоритмы быстрого вычисления преобразования Уолша без использования операций перемножения, что является очень ценным свойством, особенно при реализации преобразования Уолша на аппаратном уровне.

Похожими особенностями обладает система функций Хаара [11,21] (рис. 1.3).