Ортогональные сигналы и обобщенные ряды Фурье

 

Два сигнала U и V называются ортогональными, если их скалярное произведение, а значит и взаимная энергия =0.

Пусть Н - гильбертово пространство сигналов с конечным значением энергии. Эти сигналы определенны на отрезке времени [t₁,t₂], конечном или бесконечном. Предположим, что на этом отрезке задана бесконечная система функций {U₀, U₁,..U_n,..}, ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:

.

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.

Разложим произвольный сигнал S(t)H в ряд:

(V)

Представление (V) называется обобщенным рядом Фурье сигнала S(t) в выбранном базисе.

Коэффициент данного ряда находят следующим образом. Возьмем базисную функцию U_k с произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства (V) и затем проинтегрируем результаты по времени:

Ввиду ортогональности базиса в правой части равенства (V) остается только член суммы с номером i=k, поэтому:

(W).

На геометрическом языке интерпретация формулы (W) такова: коэффициент обобщенного ряда Фурье есть проекция вектора на базисное направление

 

S

 

 

U_k C_kU_k 90°

 

Ряд Фурье дает возможность характеризовать сигналы счетной системой коэффициентов обобщенного ряда Фурье С_k, вместо того, чтобы изучать функциональную зависимость в несчетном множестве точек.