Скалярное произведение сигналов

 

Введя понятия нормы и метрики мы все равно лишены возможности вычислить угол между двумя векторами. Это можно сделать, если ввести понятие скалярного произведения сигналов.

Если в обычном трехмерном пространстве известны два вектора и , то

y

|А+В|²=|А|²+|В|²+2() (*),

где = |||| cosy - скалярное произведение этих векторов, зависящее от угла y между ними.

Действуя по аналогии вычислим энергию суммы 2-х сигналов U и V:

Е= (**)

В отличии от самих сигналов их энергии неаддитивные- т.е. энергия суммарного сигнала содержит в себе так называемую взаимную энергию

Сравнивая между собой формулы (*) и (**) определим скалярное произведение вещественных сигналов U и V: косинус угла между ними .

Скалярное произведение обладает свойствами:

1. (U, U)³0

2. (U, V) = (V, U)

3. (aU, V) = a(U, V) , где a- вещественное число

4. (U+V, W) = (U, W)+(V, W)

Линейное пространство с таким скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства, называется вещественным гильбертовым пространством Н.

Справедливо фундаментальное неравенство Коши-Буняковского .