Деформация и напряжения при кручении. Крутящий момент.

Рассмотрим брус круглого сечения один конец которого закреплен, а к другому приложена пара сил с моментом m, действующим в плоскости, перпендикулярной к оси бруса. Под действием этой пары брус будет испытывать деформацию кручения, которую будем предполагать протекающей упруго. Момент пары скручивающей брус, называют скручивающим моментом и обозначается m.

Опыты показывают, что при кручении ось бруса остается прямой, торцовое сечение плоским, а радиусы, намеченные на торцовом сечении, не искривляются. Окружности нанесенные на поверхность бруса также не изменяются после деформации. Все образующие поворачиваются на один и тот же угол относительно друг друга, а квадраты нанесенные на поверхность бруса до деформации, становятся одинаковыми ромбами после кручения. Обобщив указанные данные опытов можно сделать предположение, что каждый элемент на поверхности и внутри бруса испытывает чистый сдвиг, а следовательно в поперечных сечениях бруса возникают только касательные напряжения.

Угол, на который поворачивается вокруг оси одно сечение относительно другого, называется углом закручивания и обозначается буквой θ. Величина его пропорциональна расстоянию между сечениями. Угол поворота одного торцового сечения относительно другого торцового сечения называют полным углом закручивания.

Применив метод сечения можно установить, что внутренние силы в поперечном сечении приводятся к паре сил М_к. Момент внутренней пары сил, действующей в плоскости поперечного сечения бруса, называется крутящим моментом в рассматриваемом поперечном сечении и обозначается М_к.

Расчеты на кручение производят для валов машин, осей подвижного состава, пружин и некоторых элементов гражданских и промышленных зданий.

На основе рассмотренных выше опытом можно принять следующие допущения:

· Плоские поперечные сечения круглого бруса остаются плоскими и после деформации;

· Радиусы, проведенные в поперечных сечениях, после деформации остаются прямыми;

· Расстояния между поперечными сечениями не изменяются;

Используя метод сечений, закон Гука при сдвиге и ряд математических преобразований, можно определить полный угол закручивания бруса при кручении:

 

Где

М_к – крутящий момент;

l – длина бруса;

G – модуль сдвига;

J_ρ – полярный момент инерции площади сечения;

Произведение GJ_ρ называют жесткостью сечения бруса при кручении. Формал читается следующим образом: величина угла закручивания прямо пропорциональна крутящему моменту Мк и длине бруса l и обратно пропорциональна жесткости сечения при кручении GJρ.

Величина θ измеряется в радианах, формула для θ в градусах выглядит следующим образом:

 

Величина касательных напряжений определяется по формуле:

где ρ – радиус сечения бруса;

 

Ввиду того, что величина М_к/J_ρ постоянна для данного сечения, можно сделать вывод, что максимальное значение напряжений будет в крайних точка сечения бруса.

Наибольшее напряжение величины касательных напряжений в крайних точках можно записать как:

где W_ρ=J_ρ/ρ_max – полярный момент сопротивления сечения бруса.

 

Величина полярного момента инерции площади круга определяется по формуле:

Тогда

 

Для полого бруса выражения выглядят следующим образом: