Кинетика сил инерции при ударе встряхивающего стола

Рассмотрим характер импульсного воздействия на формовочную смесь при ударе на следующей упрощенной схеме.

Пусть тело с массой m (встряхивающий стол с полуформой) в момент соприкосновения со станиной машины имеет начальную скорость уда­ра v₀. Примем этот момент за начало отсчета времени (t₀ = 0) и координаты (x₀ = 0).

С момента соприкосновения стол и станина (прокладка) начнут деформироваться. Стол начнет замедляться, а силы сопротивления деформации будут расти. Наступит момент, когда кинетическая энергия падающего стола перейдет в потенциальную энергию деформированных частей. Стол остановится, а упруго деформированные части будут восстанавливать свою форму. Стол начнет двигаться вверх. Пройдя начало координат, разогнанный упругими силами, он будет продолжать движение вверх по инерции и поднимется на некоторую высоту. Поскольку часть энергии рассеется в процессе деформации в виде тепла, высота подъема будет меньше высоты, с которой стол падал. Далее стол будет подниматься под действием давления сжатого воздуха и цикл повторится.

Обозначим через c жесткость соударяющихся частей. Перемещение стола из-за деформации соударяющихся частей, от­считываемое от этого нулевого момента времени, обозначим через x, скорость этого перемещения через v и ускорение движения через j. Уравнение движения стола в момент удара (условие равновесия) может быть запи­сано следующим образом:

(36)

Здесь первое слагаемое – сила упругой деформации, второе – сила давления движущегося стола. Если разделить уравнение (36) на массу m и умножить на минус единицу, получим

,

(37)

где m – масса стола, кг;

c – жесткость стола, Н/м;

x – текущая координата, отсчитываемая от точки соприкосновения соударяющихся частей, м;

w – круговая частота собственных колебаний стола, рад/с.

Частота собственных колебаний твердого тела выражается через жесткость и массу следующим образом

.

(38)

Уравнение (37) описывает автоколебания системы с массой m и жесткостью c и представляет собой однородное линейное дифферен­циальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, без правой части, и с мнимыми комплексными корнями характерис­тического уравнения. Решение его имеет следующий вид

.

(39)

Продифференцировав это решение, получим выражение для ско­рости:

.

(40)

Для нахождения постоянных коэффициентов A и B в уравнение (39) подставляем первое начальное условие (x = 0 при t = 0), а в уравнение (40) второе начальное условие (v = v₀ при t = 0), где время t отсчиты­вается от начального момента соударения. Получаем значения по­стоянных коэффициентов: A = 0, а B = v₀/w и имеем окончательно

;	(41)
.	(42)

Предельное время t_пр всей деформации найдем, положив v = 0 в уравнении (42). Получаем

,

(43)

что дает величину предельного времени деформации

.

(44)

При этом полная деформация соударяющихся частей равняется

.

(45)

Текущее значение ускорения движения j = dv/dt (в момент времени t) находим продифференцировав уравнение (42)

.

(46)

Сила давления встряхивающего стола на станину F = т(-j) равняется:

.

(47)

В момент конца деформации соударяющихся частей будем иметь следующие предельные значения ускорения и силы давления

,	(48)
.	(49)

На рис. 23 показан характер нагружения формовочной смеси силами инерции во времени при ударе встряхивающего стола.

Рис. 23. Изменение инерционных сил во времени при встряхивании

Сила нагружения (ускорение инерции) возрастает по синусоидальной закономерности от нуля до максимального (предельного) значения, соответствующего концу деформации соударяющихся частей машины. После достижения этого момента времени следует период упругого восстановления соударяющихся частей, и сила давления (или ускорение инерции) падает снова до нуля. Встряхивающий стол при этом подскакивает на некоторую высоту отражения, кото­рая меньше высоты падения стола, так как удар стола о станину машины является не вполне упругим. Соответственно площадь диа­граммы под кривой нагрузки представляет собой импульс нагружения J₁, который больше импульса разгружепия J₂, равного площади под кривой разгрузки.

Как следует из полученных решений (формулы 44 и 48), продолжительность нагружения t_пр и максимальное ускорение инерции j_пр при ударе зависят от частоты собственных колебаний системы w, которая, в свою очередь определяется жесткостью c. С уменьшением жесткости c собственная частота w уменьшается (уравнение 38). При этом t_пр увеличивается (удар растягивается по вре­мени), а ускорение инерции уменьшается. При увеличении жесткости – наоборот. Следовательно, можно регулировать характеристики удара, применяя прокладки из различных материалов на ударных поверхностях машины.