Закон больших чисел и центральная предельная теорема

Результаты, касающиеся асимптотического поведения последовательностей и композиций СВ, в теории вероятностей принято называть предельными теоремами. Основными из них являются закон больших чисел и центральная предельная теорема [12,16].

Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом (в пределе – бесконечно большом) числе СВ и их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Закон больших чисел в форме Чебышева. Если дисперсии n независимых СВ Х₁, Х₂ … Х_n ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном возрастании n среднее арифметическое этих СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий М(Х₁), М(Х₂), … , М(Х_n), т. е.:

(1.28)

при любом сколь угодно малом числе ε > 0.

Сходимость по вероятности в данном случае означает, что, усредняя достаточно большое число независимых и одинаково распределенных СВ, мы получим с вероятностью, как угодно близкой к единице, значение, сколь угодно мало отличающееся от среднего арифметического математических ожиданий этих величин.

Содержание центральной предельной теоремы можно сформулировать следующим образом.

Если СВ представляет собой сумму достаточно большого числа независимых СВ, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то рассматриваемая СВ имеет распределение, близкое к нормальному.

Эта теорема утверждает для очень широкого класса независимых СВ асимптотическую нормальность их суммы и объясняет ту исключительно важную роль, которую играет в теории вероятностей и прикладных вопросах нормальное распределение. Согласно центральной предельной теореме, сумма большого числа СВ имеет приближенно нормальное распределение независимо от индивидуального распределения слагаемых.

Более строго и подробно предельные теоремы и их результаты рассматриваются в общих курсах теории вероятностей и математической статистики.