Имеющей конечное число точек разрыва.

Теорема:

Если функция f(x) ограничена на [a, b] и имеет на нем конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство:

Можем считать, не нарушая общности, что на [a, b] существует только одна точка разрыва х ^/. Возьмем произвольное число >0 и окружим точку х ^/ -окрестностью. На отрезке [a, х ^/- ] функция непрерывна, следовательно для данного можно указать такое , что если [a, х^/- ] разбить на части с длинами, меньшими δ₁, то колебание функции на каждой из этих частей будет меньше . Аналогично для отрезка [х ^/+ , b] можно указать , такое что, если этот отрезок разбить на части с длинами меньшими , то колебание функции на каждой из частей будет меньше . Из δ₁ и δ₂ выберем наименьшее и обозначим его δ₀ . Тогда, если отрезок [a, х ^/- ] и [х ^/+ , b] разбить на части с длинами, меньшими δ, то колебание функции на каждой из частей будет меньше . Кроме того, мы можем взять . Разобьем отрезок [a, b] на части с длинами, меньшими δ.

Тогда получим отрезки двух типов:

1 тип – отрезки, целиком лежащие вне окрестности;

2 тип – отрезки либо целиком лежащие в окрестности, либо частично попадающие в нее.

Так как функция ограничена, то колебания функции на каждом промежутке не превосходят колебаний функции на всем [a, b]. Обозначим его Ω. Разобьем сумму на две суммы , соответствующие отрезкам 1 и 2 типов.

Имеем: .

Заметим, что длины всех отрезков, целиком лежащих в окрестности точки х ^/, меньше 2 . Длины отрезков частично попадающих в окрестность, а их не более двух, меньше 2δ < 2 .

Для второй суммы имеем: .

Тогда

Показано, что .

Последнее равенство говорит о том, что функция интегрируема.