Вопрос № 15 Сформулируйте и докажите теорему о сложении пар как угодно расположенных в пространстве

Теорема 4, Система пар, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна одной паре, вектор-момент которой равен гео­метрической сумме моментов слагаемых пар.

Рассмотрим сначала сложение двух пар, лежащих в пересекаю­щихся плоскостях П1 и П2 (рис. 1.28). Приведем эти пары к общему плечу АВ, лежащему на линии пересечения этих плоскостей. В результате по­лучим две пары (F1 F2) и (Р1 Р2).

Сложив далее силы F1 и Р1 а затем F2 и Р2 получим результи­рующую пару (R1 –R2). т-е- первая половина теоремы доказана. Найдем теперь момент этой результирующей пары:

но

поэтому окончательно получим

(1)

т.е. момент результирующей пары по величине и направлению опреде­ляется диагональю параллелограмма, построенного на вектор-моментах слагаемых пар, т.е. равен их геометрической сумме. Если на тело действует N пар, то, складывая их, последова­тельно применяя доказанную теоре­му, мы установим, что система пар эквивалентна равнодействующей паре с вектор-моментом

(2)

Геометрически момент равнодействующей пары определяется как замыкающая сторона векторного многоугольника. Очевидно, что для равновесия этих пар необходимо и достаточно, чтобы вектор-момент этой равнодействующей был бы равен нулю, т.е.

(3)

Геометрически последнее равенство означает, что векторный много­угольник, построенный на вектор-моментах составляющих пар, замкнут.

Отсюда получаем аналитическое условие равновесия системы пар в сле­дующей форме:

Т.е. для равновесия системы пар, приложенных к твердому те­лу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций векторов-моментов всех пар системы на каждую из трех координат­ных осей равнялась нулю.