Частица в одномерной потенциальной яме (ящике)

Рассмотрим частицу с массой m, находящуюся в потенциальной яме, например, электрон в металле. Чтобы иметь возможность решить уравнение Шрёдингера введем следующие упрощения.

1).Частица находится в прямоугольной потенциальной яме, внутри ямы потенциальная энергия U постоянна, примем ее равной нулю = 0. Высота стенок ямы ® ¥, т.е. частица не может выйти из ямы (см.рис.).

2). Частица может двигаться только по оси х в пределах ширины ямы а, т.е. 0£ х £ а (одномерная задача).

Запишем уравнение Шрёдингера a для частицы в виде:

[	Уравнение Шрёдингера для частицы в прямоугольной потенциальной яме

При решении этого уравнения нам нужно найти пси-функцию y(х) и энергию Е частицы. По форме - это уравнение колебаний. Из математики известно, что решение такого дифференциального уравненияимеет вид: . Для нахождения коэффициентов А и В используем краевое условие , смысл которого в том, что частица не может выйти из ямы.

Отсюда следует: , т.к. sin 0 = 0, а cos 0 = 1 ¹ 0, то В = 0

Таким образом, получаем:

·	Решение уравнения ([). Здесь неизвестными пока остаются А и w.

Величину w найдем из второго краевого условия

А ¹ 0, следовательно, sinwa = 0, и значит wa = np , где n- -целые числа. Отсюда получаем w.

 

Вторую неизвестную величину А найдем из условия нормировки.

Смысл этого условия в том, что частица обязательно находится в пределах ширины ямы 0 ¸ а, следовательно, вероятность этого события равна 1.

Выразим плотность вероятности , используя пси-функцию (·), подставим w, и найдем интеграл. Учтем, что из тригонометрии: 2sin²a = 1- cos2a .

Учитывая, что интеграл равен 1, получим выражение для А:

 

Зная А и w, найдем окончательный вид решения:

	Пси-функция для частицы в одномерной прямоугольной яме, физического смысла не имеет.
	Плотность вероятности для частицы в одномерной яме - определяет вероятность нахождения частицы на единичном отрезке ямы

Теперь осталось найти выражение для энергии электрона. Для этого нужно найти вторую производную пси-функции и подставить в уравнение [. Получим:

энергия частицы в одномерной потенциальной яме,

На рис. показаны энергетические уровни частицы, пси-функция и плотность вероятности для первых трех квантовых состояний. Площади под кривыми плотности вероятности представляют собой вероятности, т.к. .

Что можно сказать о поведении частицы? В зависимости от того, какова ее энергия, вероятность обнаружить частицу различная. Например, при наименьшей энергии Е₁ частица пребывает в основном в середине ямы, а при энергии Е₂ вероятность обнаружить частицу в середине ямы равна нулю.