Интерполяционный многочлен Ньютона для неравномерной сетки

 

Пусть исходная (интерполируемая) сеточная функция , задана на неравномерной сетке , характеризующейся шагами .

 

Воспользуемся сначала кусочным способом. Из всей совокупности узлов выбираем шаблон , соответствующий некоторому "окну" интерполяции .

 

Тогда для функциональной интерполяции может быть использован многочлен Ньютона, основанный на разделенных разностях:

 

 

(4.29)

 

Действительно, — многочлен k-й степени, что определяется сомножителями последнего слагаемого (разделенные разности, входящие в качестве одного из сомножителей в эти произведения, есть числа). Кроме того, для многочлена удовлетворяются функциональные условия интерполяции: . Проверим их справедливость при (шаблон ) и (шаблон ). Пусть . Тогда

 

(4.30)

и поэтому

 

 

Таким образом, условия интерполяции для выполнены, следовательно, многочлен (4.30) может быть использован для линейной интерполяции кусочным способом. Пусть . Тогда

 

(4.31)

и поэтому

 

 

Таким образом, условия интерполяции для многочлена также выполнены и он может использоваться для параболической интерполяции кусочным способом.

 

Для произвольного справедливость равенств , проверяется методом математической индукции.

 

Полагая , приходим к глобальному способу. Тогда интерполяционный многочлен Ньютона n-й степени имеет вид

 

 

(4.32)