Кинематический анализ плоских стержневых систем. Статически неопределимые рамы и балки.

Ранее в лекциях мы частично рассматривали вопросы, связанные с понятием статической неопределимости. Для решения большинства встречающихся на практике задач описанные приемы оказываются однако, далеко не доста­точными. Поэтому необходимо остановиться на более общих методах раскрытия статической неопределимости стержне­вых систем.

Под стержневой системой в широком смысле слова по­нимается всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму стержня. Ес­ли элементы конструкции ра­ботают в основном на растя­жение или сжатие, то стержне­вая система называется фер­мой (рис. 1). Ферма состоит из прямых стержней, обра­зующих треугольники. Для фермы характерно приложение внешних сил в узлах.

Рис.1

Если элементы стержневой системы работают в основном на изгиб или кручение, то система называется рамой (рис. 2).

Особую, наиболее простую для исследования группу стержневых систем составляют плоские системы. У плоской рамы или фермы оси всех составляющих элементов располо­жены в одной плоскости, которая одновременно является главной плоскостью сечений. В этой же плоскости действуют все внешние силы, включая и реакции опор (см. рис. 2, а).

Рис.2.

Нарядус плоскими рассматриваются так называемые плоскопространственные системы. Для такого рода систем оси составляющих элементов в недеформированном состоя­нии располагаются, как и для плоских систем, в одной плос­кости. Внешние же силовые факторы действуют в плоскостях, перпендикулярных этой плоскости (рис. 2, б). Стержне­вые системы, не относящиеся к двум указанным классам, называются пространственными (рис. 2, в).

Рамы и фермы принято разделять на статически опре­делимые и статически неопределимые. Под статически определимой понимается такая система, для которой все реакции опор могут быть определены при помощи уравне­ний равновесия, а затем при найденных опорных реакциях методом сечений могут быть найдены также и внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении. Под ста­тически неопределимой системой имеется в виду такая, для которой определение внешних реакций и всех внутрен­них силовых факторов не может быть произведено при по­мощи метода сечений и уравнений равновесия.

Разность между числом неизвестных (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых урав­нений статики, которые могут быть составлены для рассмат­риваемой системы, носит название степени или числа ста­тической неопределимости. В зависимости от этого числа системы разделяются на один, два, три, ..., раз статически неопределимые. Иногда говорят, что степень статической неопределимости равна числу дополнительных связей, на­ложенных на систему. Остановимся на этом вопросе подробнее.

Положение жесткого тела в пространстве определяется шестью независимыми координатами, иначе говоря, жест­кий стержень обладает шестью степенями свободы. На него могут быть наложены связи, т. е. ограничения, обусловли­вающие его определенное по­ложение в пространстве. Наи­более простыми связями явля­ются такие, при которых пол­ностью исключается то или иное обобщенное перемещение для некоторых сечений. Наложение одной связи снимает одну степень свободы. Следовательно, если на свободный жесткий стержень наложено шесть связей, то положение его в пространстве будет, за некоторыми исключениями, опре­делено полностью, и система из механизма, обладающего шестью степенями свободы, превращается в кинематически неизменяемую систему. То число связей, при котором дости­гается кинематическая неизменяемость, носит название необходимого числа связей. Всякую связь, наложенную сверх необходимых, называют дополнительной. Число дополни­тельных связей равно степени статической неопределимо­сти системы.

Связи в рамах и стержневых системах делят обычно на связи внешние и связи внутренние, или взаимные. Под внешними связями понимаются условия, накладываемые на абсолютные перемещения некоторых точек системы. Если, например, на левый конец бруса (рис. 3, а) наложе­но условие, запрещающее вертикальное перемещение, гово­рят, что в этой точке имеется одна внешняя связь. Условно она изображается в виде двух шарниров или катка. Если запрещено как вертикальное, так и горизонтальное смеще­ние, говорят, что наложены две внешние связи (рис. 3, б). Заделка в плоской системе дает три внешние связи. Про­странственная заделка соответствует шести внешним свя­зям (рис. 3, в). Внешние связи делят на необходимые и дополнительные. Например, на рис. 4, а и б показана плоская рама, имеющая в первом случае три внешние связи, а во втором — пять внешних связей. Для того чтобы определить положение рамы в плос­кости как жесткого целого, необходимо наложение трех связей. Следовательно, в первом случае рама имеет необ­ходимые внешние связи, а во втором, кроме того, две до­полнительные внешние связи.

Рис.3

Рис.4.

 

Под внутренними, или взаимными, связями понимаются ограничения, накладываемые на взаимные смещения эле­ментов рамы. Здесь также можно говорить как о необходи­мых, так и о дополнительных связях. Так, например, плос­кая рама, показанная на рис. 5, а, имеет необходимое ко­личество как внешних, так и внутренних связей между эле­ментами. Это — кинематически неизменяемая система. Если будут заданы внешние силы, мы сможем при помощи урав­нений статики найти как реакции опор, так и внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении рамы. В той же раме, показанной на рис. 5, б, кроме внешних наложе­ны две дополнительные внутренние связи, запрещающие взаимное вертикальное и горизонтальное смещения точек А и В. Система в данном случае дважды статически неопре­делима (иногда, добавляют: внутренним образом).

В раме рис.4 а и б также имеются внутренние допол­нительные связи. Контур рамы полностью замкнут. Разре­зая его в любом сечении (рис. 6), мы, не нарушая кинема­тической неизменяемости, получаем возможность при задан­ных силах найти внутренние силовые факторы в каждом се­чении рамы. Следовательно, разрезая замкнутую раму, мы снимаем дополнительные связи, т. е. позволяем сечениям А и В поворачиваться и смещаться в двух направлениях друг относительно друга. Обобщая, можно сказать, что зам­кнутый плоский контур имеет три дополнительные взаим­ные связи — трижды статически неопределим.

Рис.5.

Рис.6.

 

Таким обра­зом, рама, показанная на рис. 4, а, трижды статически неопределима. Рама, показанная на рис. 4, б, пять раз статически неопределима (три раза внутренним образом и два раза — внешним).

Рассмотрим теперь несколько примеров определения степени статической неопределимости стержневых и рамных систем. На рис. 7, а—и показано несколько рам. После­довательно рассмотрим их.

Рис.7

а.) Рама имеет четыре дополнительные внешние связи и три внутренние связи, т. е. семь раз статически неопреде­лима.

б.) Полагаем сначала, что шарнир А отсутствует. Тогда имеются две внешние и три внутренние дополнительные свя­зи. Система без шарнира А была бы пять раз статиче­ски неопределимой. Шарнир А принадлежит одновременно трем стерж­ням. Его можно рассматривать как два совпавших шарнира (рис. 8). Так как каждый шарнир снимает одну связь, т. е. разрешает поворот одного сечения относительно дру­гого, то можно сказать, что шарнир А снимает две связи. Система становится, таким образом, вместо пяти — три раза статически неопределимой.

Рис.8.

Обобщая сказанное, можно сделать вывод, что шарнир снимает число связей, на единицу меньшее числа сходя­щихся в нем стержней. В данном случае в шарнире А схо­дятся три стержня, и шарнир снимает две связи.

в.) Если бы шарнир А отсутствовал, система была бы статически неопределимой четыре раза внешним образом и три раза внутренним образом, т. е. всего семь раз. Шарнир А снимает число связей, на единицу меньшее числа сходящих­ся в нем стержней, т. е. три связи. Рама четыре раза стати­чески неопределима.

г.) Рама три раза статически неопределима.

д.) Внешние связи не удовлетворяют условиям кинемати­ческой неизменяемости. Это — механизм, точнее говоря, мгновенный механизм. Система имеет возможность повора­чиваться относительно верхней опоры как жесткое целое. Понятно, что угол поворота будет небольшим. Нижняя связь заклинится и будет достигнуто какое-то положение равно­весия. Но новое положение связей будет зависеть от жест­кости системы. К раме неприменимы основные принципы сопротивления материалов: принцип неизменности началь­ных размеров и принцип независимости действия сил.

е.) Рама — пространственная. Имеется шесть дополни­тельных внешних связей (лишняя заделка) и шесть до­полнительных взаимных связей (замкнутый контур). Си­стема 12 раз статически неопределима.

ж.) Система семь раз статически неопределима (один раз, внешним образом и шесть раз — внутренним).

з.) Здесь для плоской рамы не показаны внешние связи, но дана система внешних сил, удовлетворяющая условиям равновесия. В таком случае условились считать, что до­полнительных внешних связей нет и положение рамы в про­странстве определено; рассматриваются только внутренние связи. Система три раза статически неопределима.

и.) Здесь также рассматриваются только внутренние свя­зи, поскольку система внешних сил удовлетворяет условиям равновесия. Нужно подсчитать, сколько сечений необхо­димо сделать в раме, чтобы, с одной стороны, она не «рас­сыпалась», а с другой — чтобы в ней не осталось ни одного замкнутого контура. Таких сечений следует сделать пять (см. рисунок). Система 30 раз статически неопределима.