Экзаменационный билет № 20
1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка. Приведение уравнений с постоянными коэффициентами к каноническому виду.
2. Неравенство Чебышёва (с доказательством).
3. Найти потенциал в центре квадрата со стороной 
, если на трёх сторонах квадрата потенциал равен нулю, а на четвертой стороне задается формулой
.
4. Масса пойманной рыбы подчинена нормальному закону с параметрами 
г, 
г. Найти вероятность того, что масса пойманной рыбы будет от 300 г до 425 г.
1. Для уравнения второго порядка от двух независимых переменных
принята такая классификация:
- если в некоторой области 
, то уравнение называется гиперболическим в 
;
- если 
в области 
, то уравнение называется эллиптическим в 
;
- если 
во всех точках области 
, то уравнение называется параболическим в 
.
В каждом классе уравнений есть простейшие уравнения, которые называются каноническими.
Уравнения
, 
называют соответственно первой и второй каноническими формами гиперболического уравнения.
Уравнение
называется канонической формой эллиптического уравнения.
Уравнение
называется канонической формой параболического уравнения.
Дифференциальные уравнения
или
(если 
)
называются дифференциальными уравнениями характеристик.
Если в уравнении постоянные коэффициенты, т.е. для уравнения
,
решением уравнений характеристик есть
Если уравнение гиперболического типа ( 
), то с помощью замены переменных
, 
уравнение сводится к первой канонической форме.
Для уравнения эллиптического типа ( 
) к канонической форме сводит замена
, 
.
Для уравнения параболического типа ( 
) к канонической форме сводит замена
, 
.
2. Для любой случайной величины 
и любого положительного числа 
справедливо неравенство Чебышева
.
Доказательство проведем для случая, когда 
– непрерывная случайная величина. Пусть 
– плотность случайной величины 
, а 
, тогда
,
так как события 
и 
несовместны.
Итак,
,
то есть
.
Неравенство Чебышева доказано.
Для дискретных случайных величин неравенство Чебышева доказывается аналогично (вместо интегралов будут суммы рядов).
Следствие. Поскольку 
, то
.
3. Если 
– искомый потенциал, то он является решением задачи
при 
, 
,
, 
.
Для решения краевой задачи воспользуемся методом Фурье. Нетривиальные решения уравнения Лапласа 
будем искать в виде 
. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, 
,
: 
,
, 
, 
.
Тогда функции 
и 
являются соответственно решениями уравнений
, 
.
Из краевых условий 
получаем краевые условия для функции 
: 
, 
, значит, 
, 
. Таким образом, для определения 
и 
получаем задачу Штурма-Лиувилля
: 
,
, 
.
Поскольку 
, то общее решение уравнения имеет вид
.
Из краевого условия получаем: 
, т.е. 
. Из краевого условия получаем: 
. Поскольку 
, то 
и равенство возможно тогда и только тогда, когда 
, откуда получаем 
, 
, т.е. 
, . Тогда получим 
, . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
Собственные значения , ;
Собственные функции , .
Теперь при каждом 
решаем уравнение для 
:
: 
, .
Общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Краевые условия 
, 
дают:
: 
; 
; 
, 
;
:
, 
.
Итак, для определения 
, 
, , получили системы
Решая их, получим
, 
,
, 
, 
.
Тогда
,
, 
.
Окончательно, потенциал равен
.
Значение потенциала в центре квадрата со стороной , т.е. в точке 
, 
, равно
.
4. Для расчета вероятностей попадания нормальной случайной величины 
с математическим ожиданием 
и среднеквадратическим отклонением 
в промежуток 
используется формула
,
где 
, причем 
– нечетная функция: 
.
Пусть случайная величина 
– масса пойманной рыбы. При г, г получим
.