Изучение движения точки в полярной системе координат на плоскости

Когда точка движется все время в одной и той же плоскости, ее положение иногда удобнее описывать полярными координатами и .

Полярная система координат – это двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами – полярным радиусом и полярным углом .

Полярная система координат задается лучом, который называют нулевым лучом или полярной осью. Точка, из которой выходит такой луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами:

- радиальной

- угловой .

Координата соответствует расстоянию от точки М до полюса О. Координата равна углу в направлении против часовой стрелки от нулевого луча.

Закон движения точки в полярных координатах задается уравнениями:

Пару полярных координат и можно перевести в декартовы координаты x и y:

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярными уравнениями, тогда как уравнения в прямоугольной (декартовой) системе координат были бы намного сложнее.

 

Примеры кривых в полярной СК

- полярная роза

Уравнение кривой в общем случае:

Например

Если k нечетное, то полярная роза имеет k «лепестков»

Если k четное, то полярная роза имеет 2k «лепестков» (т.е. в данном случае k четное и равно 4, следовательно, количество «лепестков» равно 2k, или 8).

 

- улитка Паскаля

Уравнение кривой в общем случае:

 

Кинематические характеристики точки в полярной системе координат

- скорость точки:

Скорость точки в общем виде в полярной СК численно равна производной

, где - элементарное перемещение точки, - малый промежуток времени.

Перемещение геометрически слагается из:

- радиального перемещения

- поперечного перемещения .

Следовательно, скорость будет геометрически складываться из:

- радиальной скорости

- поперечной скорости .

Вектор радиальной скорости направлен в сторону увеличения полярного радиуса , а вектор поперечной скорости и направлен в сторону увеличения полярного угла .

Модуль скорости будет определяться как:

.

Если выразить и через декартовы координаты, получаем:

 

- ускорение точки:

Тогда:

или

,

где:

- радиальное ускорение;

- поперечное ускорение;

- радиальный орт;

- поперечный орт (всегда повернут относительно на 90° против хода часовой стрелки и лежит в плоскости Oxy).