Задачи по теме «Колебания. Математический маятник»

17. В совпадающем по направлению гравитационном (g) и электрическом (Е) полях на тонкой нитке длины L подвешено тело массы m и зарядом q. Найти период колебаний тела. Найти период колебаний, если g и Е ортогональны.

Решение:

Обобщим формулу для расчета периода малых колебаний математического маятника: , где - эффективное ускорение свободного падения, сообщаемое равнодействующей всех сил, действующих на данное тело.

а) g и E совпадают по направлению

Пусть сила тяжести и сила электростатического взаимодействия направлены в одну сторону. Тогда, . Соответственно, .

Период колебаний маятника будет равен

б) g и E ортогональны

Модуль результирующей силы, действующей на заряженный маятник, равен . Тогда . Подставляем в формулу для нахождения периода колебаний:

18. Естествоиспытатель изучает колебания маятника (маленький тяжелый шарик на длинной нитке) в движущейся системе отсчета – вагоне поезда. Когда поезд двигался по прямой, период колебаний был Т, когда по закруглению постоянного радиуса – t. Как соотносятся T и t: T>,=,<t ? Дорога горизонтальна, скорость поезда постоянна и равна V, радиус закругления R.

Решение:

Формула для расчета периода малых колебаний математического маятника: , где - эффективное ускорение свободного падения, сообщаемое равнодействующей всех сил, действующих на данное тело.

Когда поезд едет по прямой и скорость постоянна, на маятник действует только сила тяжести. Период колебаний маятника в этом случае .

Когда поезд едет по закруглению, в вагоне, как в неинерциальной системе отсчета, возникает центробежная сила: . Таким образом, суммарная сила, действующая на маятник, является равнодействующей силы тяжести и центробежной силы:

.

Находим . Получаем окончательную формулу для периода колебаний маятника:

. Очевидно, что T>t.

18. Маятник (точечный груз на нерастяжимой нити) приводят в движение, сообщив грузу горизонтальный импульс Р, и он начинает совершать малые колебания с периодом Т. Найти максимальное и минимальное натяжение нити. Масса груза m, поле тяжести g.

 

Решение:

Максимальное натяжение нити возникает в момент, когда маятник проходит самую нижнюю точку, минимальное, когда маятник отклоняется на максимальный угол от положения равновесия.

Максимальное натяжение, , где - длина маятника.

Минимальное натяжение , где - максимальный угол отклонения маятника от положения равновесия.

Период колебания маятника равен

Из закона сохранения энергии можно получить: