Доказательство теорем

Доказательства бывают прямые и косвенные. Прямые доказательства, в свою очередь, делятся на синтетические и аналитические.

· I. Рассмотрим синтетический метод доказательства

Исходным моментом синтетического доказательства является условие теоремы. На основе предыдущих предложений и законов логики условие теоремы постепенно преобразуют до тех пор, пока не приходят к заключению. К достоинствам синтетического метода относятся: исчерпывающая полнота, сжатость, краткость (обычно он применяется при изложении уже разработанных математических теорий, известных доказа­тельств или доказательств, отыскание которых не вызы­вает у учащихся затруднения). Синтетический метод в ме­тодическом отношении имеет и свои недостатки. Остается неясным, как можно обнаружить такое доказательство, почему в рассуждениях поступают так, а не иначе; дополнительные построения никак не аргументируются; учащиеся, слушая или читая доказательство, воспри­нимают его пассивно, соглашаются с истинностью каждого умозаключения и не представляют, в каком направлении должны протекать дальнейшие рассуждения. Этот способ мало способствует самостоятельному открытию доказа­тельства; идея, план рассуждений остаются скрытыми от учащихся.

Пример. Доказать, что если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник — параллелограмм. Приведем краткую запись теоремы: ,


Доказательство. Выполним дополнительное построение: Проведем диагональ АС. Тогда:

1) (АВ=DС, ВС=АD, АС— общая) (ΔАВС=ΔСDА) (на основании третьего признака равенства треугольников);

2) (ΔАВС=ΔСDA, АВ=DС) ( АСВ= САD);

3) (ΔАВС=ΔСDA, ВС=AD) ( ВAC= АCD) (на основа­нии определения равенства двух треугольников);

4) п.2 ВС || АD)

5) п.3 (АВ || DС) (на основании признака параллельности двух прямых);

6) (пп. 4 и 5) (ABCD — параллелограмм) (на основании опреде­ления параллелограмма).

Обратите внимание на то, что здесь приводится еще одна форма представления доказательства в виде конечной последовательности предложений.

Компенсировать недостатки синтетическо­го метода помогают следующие методические приемы.

1. Прием формулирования общего замысла (идеи) доказательства.

2. Прием мотивировки дополнительных построений.

3. Прием приведения плана доказательства.

4. Прием проведения доказательства с опорой на крат­кую его запись.

5. Прием составления блок-схемы доказательства.

6. Прием составления таблицы с двумя параллель­ными колонками: «Утверж­дение» и «На основании».

· II. Обратимся к аналитическому методу доказатель­ства.

Восходящий анализ (анализ Паппа). При доказатель­стве методом восходящего анализа отталкиваются от за­ключения теоремы и подбирают для него достаточные условия. В символической записи процесс доказательства методом восходящего анализа можно представить сле­дующим образом. Пусть «А В» —данная теорема. Для заключения В подбираем достаточное условие А1, т. е. такое условие, что А1 В. Для А1, в свою очередь, находим достаточное условие А2: А2 A1 и т. д. Подбор достаточных условий продолжается до тех пор, пока для какого-либо Аi точным условием окажется условие теоремы, т. е. условие А: А Ai. В итоге доказательство теоремы завершается: А Ai, Аi Ai-1, А1 B. Следовательно, А B.

Приведем доказательство теоремы: «Если в четырех­угольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник—параллелограмм» методом восходя­щего анализа.

1. Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, достаточно доказать, что BC || AD и AB || DC. (A1)

2. Для доказательства параллельности сторон четырехугольника достаточно доказать равенство накрест лежащих углов, образуемых при пересечении двух прямых третьей. (А2)

3. Такие накрест лежащие углы можно получить, если провести диагональ AC:

ACB и CAD; BAC и ACD. (А3)

4. Для доказательства равенств ACB= CAD и BAC= ACD достаточно доказать равенство треугольников АВС и CDA. (A4)

5. Для доказательства равенства треугольников АВС и CDA достаточно установить справедливость равенств: AD=ВС, АВ=DC, AC=AC,a эти равенства выполняются. (A)

Теорема доказана.

Нисходящий анализ (анализ Евклида). При нисходя­щем анализе рассуждения также начинают с заключе­ния теоремы, однако подбирают уже не достаточные, а необходимые условия. Выведение необходимых условий продолжают до тех пор, пока не придут к очевидному следствию, представляющему собой или условие теоремы, или ранее изученное предложение. Если окажется возмож­ным провести рассуждения в обратном порядке, при котором условие теоремы или очевидное предложение выступают отправной посылкой, то получим искомое дока­зательство.

Итак, пусть А B — данная теорема. Допустим, что из заключения теоремы В выводится следствие B1: B B1, из B1, в свою очередь,—следствие B2 и т. д.:

B=B1, B1 B2, … , Bi-1 Bi, Bi A. (1)

Если возможно провести рассуждения в обратном порядке:

A Bi, Bi Bi-1,…, B2 B1, B1 B, (2)

то получим доказательство теоремы.

Понятно, что цепочка рассуждений (1) не является доказательством теоремы. Цель ее — чисто методическая: найти доказательство (2).

Если обратиться к рассмотренной выше теореме, то нисходящий анализ может быть проведен следующим образом:

1. Пусть ABCD — параллелограмм. (B)

2. Тогда BC || AD и AB || DC. (B1)

3. Тогда ACB= CAD, BAC= ACD (как накрест лежа­щие углы при параллельных прямых и секущей). (B2)

4. Из равенства этих углов с учетом того, что АС—общая сторона ΔABC и ΔCDA, следует: ΔABC=ΔCDA. (B3)

5. Тогда AD=BC, AB=DC, AC = AC. (A)

Итак, B=B1, B1 B2, B3 A.

Обратимся к косвенному доказательству. В школьной практике обычно оно называется методом от противного. Доказательство теоремы A B начинают с допущения, что из А не следует В. Тогда имеет место истинность предло­жения A и ложность предложения В. Из предложения (А и ) выводят следствие В1, из предложения В1 — следствие В2 и так далее, пока не получится следствие Вi,находящееся в противоречии либо с условием теоремы, ли­бо с одним из ранее изученных предложений. Полученное противоречие означает, что допущение неверно, а, значит, верно предложение А В. Следовательно, теорема А В доказана.