Уравнения с модулем

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком абсолютной величины.

Геометрический смысл модуля разности величин – это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения – длина отрезка числовой оси, соединяющей точки с абсциссами и . Перевод алгебраической задачи на геометрический язык иногда позволяет избежать громоздких решений.

Пример. Решим уравнение:

Решение. На геометрическом языке это уравнение описывает множество точек, удаленных от точки –5 на расстояние 1. Это точки {−4,−6}.

Ответ. –4;–6.

Используя геометрическую интерпретацию, легко решают уравнения вида:

, где .

Решить уравнение (1) – следовательно, найти все точки на числовой оси Ox, которые отстоят от точки с координатой a на расстояние c. При уравнение решений не имеет; при оно имеет один корень и при уравнение имеет два корня

Решить уравнение (2) –следовательно, найти все точки на числовой оси Ox, для каждой из которых сумма расстояний от нее до точек с координатами a и b равна c. Аналогично интерпретируется решение уравнения вида (3).

Пример. Решим уравнение с использованием геометрической интерпретации модуля.

Решение. Найдем на числовой оси Ox все точки, для каждой из которых разность расстояния от нее до точки с координатой 1 и расстояния от нее до точки с координатой 3 равна 2. Так как длина отрезка [1, 3] равна 2, то ясно, что любая точка с координатой удовлетворяет данному уравнению, а любая точка с координатой не удовлетворяет ему.

Таким образом, решением исходного уравнения является множество всех чисел из промежутка

Пример. Решим уравнение с использованием геометрической интерпретации модуля.

Решение. Исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка – не обладают требуемым свойством. Следовательно, множеством решений уравнения является отрезок

Ответ.

Пример. Решим уравнение с использованием геометрической интерпретации модуля.

Решение. Будем рассуждать аналогично рассмотренному выше примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно, решением данного уравнения является не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси

Ответ.

Пример. Решим аналитически уравнение:

Решение. Воспользуемся определением модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, то есть тогда снимем знак модуля со знаком «плюс», уравнение примет вид:

Если выражение, находящееся под модулем тогда снимем знак модуля со знаком «минус», уравнение примет вид:

Таким образом, либо либо Решим полученные уравнения, получим:

Ответ.

Пример. Решим аналитически уравнение:

Решение. Преобразуем данное уравнение:

Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен.

Ответ. Решений нет.

Пример. Решим уравнение:

Решение. Найдем область определения уравнения.

Заметим, что в предыдущих примерах такой необходимости не было.

В данном уравнении в левой части стоит модуль некоторого выражения, в правой части – выражение с переменной. Именно это обстоятельство отличает данный пример от примеров, рассмотренных выше.

Поскольку в левой части уравнения содержится модуль, в правой части – выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобы выражение в правой части уравнения было неотрицательным, то есть Таким образом, область определения уравнения .

Воспользуемся алгебраическим определением модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, то есть тогда снимаем знак модуля со знаком «плюс». Если выражение, находящееся под модулем тогда снимаем знак модуля со знаком «минус».

Получим две смешанных системы: и

Решим каждую систему: число принадлежит промежутку и является корнем исходного уравнения.

число не принадлежит промежутку и не является корнем уравнения.

Ответ. .

Пример. Решим уравнение:

Решение. Воспользуемся алгебраическим определением модуля. Значение выражения может быть равно 4 или – 4. Иными словами, данное уравнение равносильно совокупности уравнений или .

Решая их, получим или .

Корнями уравнения являются числа 6 или – 6. Уравнение не имеет корней, так как модуль не может быть отрицательным числом. Таким образом, числа 6 и –6 – корни данного уравнения.

Ответ. 6;–6.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. В отличие от предыдущего задания в правой части данного уравнения содержится выражение с переменной. Поэтому уравнение имеет решение при условии, если 2x–1³0.

В этом случае равенство возможно, если значения выражений и одинаковы либо противоположны.

Другими словами, уравнение равносильно системе:

Корни данного уравнения: 1; .

Ответ. 1; .

Пример. Найдем целые корни уравнения .

Решение. Представим уравнение в виде . Повторяя рассуждения, приведенные выше, получим решение:

Ответ. 1.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Используя определение модуля, приходим к выводу, что равенство возможно, если значения выражений и равны или противоположны, то есть данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Решая совокупность, получим корни данного уравнения:

Ответ.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Обозначим выражение через a. Тогда данное уравнение примет вид Исходя из алгебраического определения модуля, можно сделать вывод, что данное уравнение равносильно неравенству , решая которое, получим ответ:

Ответ.