Основные свойства числовых неравенств

Для любых числовых выражений справедливы следующие свойства.

Свойство 1. Если к обеим частям верного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, то получим верное числовое неравенство, то есть справедливо: ; .

Доказательство. Если . Используя коммутативное, ассоциативное и дистрибутивное свойства операции сложения имеем: .

Следовательно, по определению отношения «больше» .

Свойство 2. Если из обеих частей верного числового неравенства вычесть одно и то же числовое выражение, то получим верное числовое неравенство, то есть справедливо: ;

.

Доказательство. По условию . Используя предыдущее свойство, прибавим к обеим частям данного неравенства числовое выражение , получим: .

Используя ассоциативное свойство операции сложения, имеем: , следовательно , следовательно .

Следствие. Любое слагаемое можно переносить из одной части числового неравенства в другую с противоположным знаком.

Свойство 3. Если почленно сложить верные числовые неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть справедливо:

;

.

Доказательство. По свойству 1 имеем: и , используя свойство транзитивность отношения «больше», получим: .

Свойство доказывается аналогично.

Свойство 4. Верные числовые неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, сохраняя знак неравенства, из которого вычитаем, то есть: ;

.

Доказательство. По определению истинных числовых неравенств . По свойству 3, если . По следствию свойства 2 данной теоремы, любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую с противоположным знаком. Следовательно, . Таким образом, если .

Свойство доказывается аналогично.

Свойство 5. Если обе части верного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, принимающее положительное значение, не меняя знака неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть:

;

.

Доказательство. Из того, что . Имеем: тогда . Используя дистрибутивность операции умножения относительно вычитания, имеем: .

Тогда по определению отношения «больше» .

Свойство доказывается аналогично.

Свойство 6. Если обе части верного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, принимающее отрицательное значение, поменяв знак неравенства на противоположный, то получим верное числовое неравенство, то есть: ;

.

Доказательство данного свойства опустим.

Свойство 7. Если обе части верного числового неравенства разделить на одно и то же числовое выражение, принимающее положительное значение, не меняя знака неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть:

;

.

Доказательство. Имеем: . По свойству 5, получим: . Используя ассоциативность операции умножения, имеем: следовательно .

Свойство доказывается аналогично.

Свойство 8. Если обе части верного числового неравенства разделить на одно и то же числовое выражение, принимающее отрицательное значение, поменяв знак неравенства на противоположный, то получим верное числовое неравенство, то есть: ;

.

Доказательство данного свойства опустим.

Свойство 9. Если почленно перемножить верные числовые неравенства одинакового смысла с отрицательными частями, изменив знак неравенства на противоположный, то получим верное числовое неравенство, то есть:

;

.

Доказательство данного свойства опустим.

Свойство 10. Если почленно перемножить верные числовые неравенства одинакового смысла с положительными частями, не меняя знак неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть:

;

.

Доказательство данного свойства опустим.

Свойство 11. Если почленно разделить верное числовое неравенство противоположного смысла с положительными частями, сохранив знак первого неравенства, то получим верное числовое неравенство, то есть:

;

.

Доказательство данного свойства опустим.

Пример 1. Являются ли неравенства и равносильными?

Решение. Второе неравенство получено из первого неравенства прибавлением к обеим его частям одного и того же выражения , которое не определенно при . Это означает, что число не может быть решением первого неравенства. Однако является решением второго неравенства. Итак, существует решение второго неравенства, которое не является решением первого неравенства. Следовательно, данные неравенства не являются равносильными. Второе неравенство является следствием первого неравенства, так как любое решение первого неравенства является решением второго.

Пример 2. Являются ли неравенства и равносильными?

Решение. Область допустимых значений первого неравенства есть множество . На этом множестве неравенство , равносильно первому и имеет решение и .

Уравнение имеет два корня и . Следовательно, множество решений неравенства состоит из двух промежутков и .

Таким образом, данные неравенства не являются равносильными и, более того, ни одно из них не является следствием другого.

Разобранный пример показывает, что при решении неравенства нельзя обе его части умножать на знаменатель без выяснения знака принимаемых им значений. Так в примере 3 имеем

.

Однако, умножив обе части последнего неравенства на выражение , мы получим , не равносильное исходному.