Пример 10.

Определите свойства отношений, заданных:

1. На множестве натуральных чисел N:

а) R₁ - "быть не больше <";

б) R₂ - "быть делителем";

в) R₃ - "быть равным".

2. На множестве точек действительной плоскости R ´ R:

а) R₄ - "находиться на одинаковом расстоянии от начала координат";

б) R₅ - "быть симметричным относительно оси X".

3. На системе множеств b(М):

a) R₆ - "пересекаться с" (иметь непустое пересечение);

б) R₇ - "являться строгим включением Ì".

4. На множестве людей:

а) R₈ - "быть сыном";

б) R₉ - "жить в одном городе";

в) R₁₀ - "быть братом".

5. На множестве элементов структуры (рис.3):

а) R₁₁ - "быть непосредственно связанным с";

б) R₁₂ - "быть начальником".

Ø 1. На множестве N:

а)R₁={(a,b)}:a£b}:

• рефлексивно, не антирефлексивно, так как выполняется а £ а для всех а Î М, например 2£ 2;

• несимметрично, так как 2 £ 3, но неверно,что 3 £ 2;

• антисимметрично, поскольку если а£b, а b£а, то а = b;

• транзитивно, так как если а£b, a b£с, то а£с, например 2 £ 3, 3 £ 4 и 2 £ 4;

б) R₂ - {(а, b): а - делитель b}:

• рефлексивно, не антирефлексивно, так как любое число делит само себя без остатка: а/а= 1 для всех а Î N;

• не симметрично, антисимметрично, например 2 - делитель 4, но 4 не является делителем 2;

• транзитивно, так как если b/аÎ N и c/bÎ N, то с/а =b/а× c/b Î N,

например, если 6/3 = 2 Î N и18/6 = 3 Î N, то 18/3 = 18/6 × 6/3 = 6 Î N;

в) R₃ = {(a,b): a=b}:

• рефлексивно, не антирефлексивно, поскольку а = а для всех а Î N;

• симметрично, так как если а = b, то b = a;

• антисимметрично, так как если aR₃ b и bR₃ а, то а = b;

• транзитивно, так как если а = b и b = с, то а = с.

2. На множестве точек действительной плоскости R ´ R:

а) R₄ = {((х₁, у₁), (х₂, у₂))}: (x₁)²+ (y₁)² = (x₂)²+ (y₂)²}:

• рефлексивно, не антирефлексивно, так как х² + у² = х²+у² для любых точек (х, у) действительной плоскости R ´ R;

• симметрично, не антисимметрично, так как, например, для точек (2, 3) и (-2, 3) имеет место 2² + 3² = (-2)² + 3², но (2,3) ¹ (-2,3);

• транзитивно, поскольку если (х₁, у₁) и (х₂, у₂) находятся на одинаковом расстоянии от начала координат, а также (х₂, у₂) и (х₃, у₃), то и (х₁, у₁) и (х₃, у₃) находятся на одинаковом расстоянии от начала координат;

б) R₅ = {((х₁, у₁), (х₂, у₂)): x_l = x₂, y_l=-y₂}:

• не рефлексивно, так как для точек плоскости (х, у), не находящихся на оси X, т.е. для точек с координатами у ¹0, не выполняется (х,у)R₅ (х,у);

• не антирефлексивно, так как точка плоскости симметрична самой себе, если она лежит на оси X, т.е. для точек (х, у) с координатами у = 0имеет место (x, у) R₅ (х, у)',

• симметрично, например (2,3) R₅ (2, - 3) и (2, -3) R₅ (2,3);

• не антисимметрично, поскольку имеет место, например, (2, 3) R₅ (2, -3) и (2, -3) R₅ (2, 3),

но (2, -3) ¹ (2, 3);

• не транзитивно, так как, например, (2, 3) R₅ (2, -3) и (2, -3) R₅ (2, 3), но не выполняется (2, 3) R₅ (2, 3).

3. На системе множеств b(М):

а) R₆ = {(А, В): А Ç В ¹ Æ, А,В Í b(М)}:

• не рефлексивно, поскольку для Æ Î b(М) имеет место ÆÇÆ = Æ;

• не антирефлексивно, так как для А Î b(M), если А не пусто, т.е. А ¹ Æ, то А Ç А ¹ Æ, т.е. отношение выполняется;

• симметрично, так как если А пересекается с В, то и В — с А;

• не антисимметрично, поскольку AR₆B и BR₆A для А¹В;

• не транзитивно, например {a} R₆ {а, b} и {a, b}R₆ {b}, но {a} R₆ {b} не выполняется;

б) R₇ = {(A,B): AÌB}:

• не рефлексивно, антирефлексивно, так как ни для каких А Î b(М) не выполняется АÌА;

• несимметрично, поскольку из А Ì В не следует В Ì А;

• антисимметрично, так как ни для каких А, В таких, что А¹ В, не выполняется одновременно АÌВ и ВÌА;

• транзитивно, так как для любых А,В,С Î b(M) из А Ì В и В Ì С следует А Ì С.

4. На множестве людей:

а) R₈ = {(а, b): а - сын b}:

• не рефлексивно, антирефлексивно, так как ни для каких а не выполняется: а - сын а;

• не симметрично, антисимметрично, поскольку ни для каких а ¹ b не выполняется: а - сын b и b- сын а;

• не транзитивно, так как если: а - сын b и b - сын с, то а - не сын с;

б) R₉ = {(а, b): а живет в одном городе c b}:

• рефлексивно, не антирефлексивно, так как aR₉ а для всех а;

• симметрично, поскольку для любых а, b, если a R₉ b, то bR₉ a;

• не антисимметрично, так как имеет место a R₉ b и b R₉ а для а ¹ b;

• транзитивно, поскольку для всех а, b, с, если a R₉ b и b R₉ с, то a R₉ с;

в) R₁₀ ={(a,b): а- брат b}:

• не рефлексивно, антирефлексивно из-за очевидного отсутствия a R₁₀ а для всех а;

• не симметрично, так как в общем случае между братом а и сестрой b имеет место a R₁₀ b, но не b R₁₀ a;

• не антисимметрично, так как если а и b - братья, то aR₁₀ b и b R₁₀ а, но а ¹ b;

• транзитивно, если называть братьями людей, имеющих общих родителей (отца и мать).

5. На множестве элементов структуры (см. рис.3):

а) R₁₁ = {(а, b): а - непосредственно связан с b}:

• не рефлексивно, антирефлексивно, если в конкретной интерпретации a R₁₁ а не имеет смысла;

• симметрично, не антисимметрично, поскольку для всех а¹b, если выполняется a R₁₁ b, то b R₁₁ a;

• не транзитивно, так как при a R₁₁ b и b R₁₁ с не выполняется a R₁₁ с (а и с связаны, но опосредованно);

б) R₁₂ = {(а, b): а - начальник b}:

• не рефлексивно, антирефлексивно (см. R₁₁);

• несимметрично, антисимметрично, так как для всех а ¹ b не выполняется одновременно aR₁₂b и b R₁₂ a;

• транзитивно, так как если а — начальник b и b - начальник с, то а — начальник с.