Фазовая и групповая скорости.

 

Скорость света в вакууме – одна из важнейших мировых констант. Согласно современным представлениям, выдающееся значение этой универсальной постоянной обусловлено тем, что она определяет предельную скорость распространения любых взаимодействий и сигналов, любых силовых полей, независимо от их физической природы. Эта скорость одинакова во всех системах отсчета и обусловлена структурой пространства и времени, а не конкретным видом носителя сигнала – электромагнитными волнами. В частности, она определяет и скорость гравитационных волн в вакууме.

Все вошедшие в историю способы измерения скорости света основаны на прерывании света, т.е. на использовании сигналов, передаваемых с помощью модулированных световых волн. Поэтому в этих опытах измеряется не фазовая скорость электромагнитных волн, а скорость светового импульса. В вакууме эти скорости одинаковы, но в среде, обладающей дисперсией, монохроматические составляющие разных частот, входящие в состав модулированной волны, распространяются с разными скоростями, что приводит к совершенно особому характеру распространения импульса.

Для непосредственного измерения фазовой скорости электромагнитных волн требуются принципиально иные методы. В области радиочастот с этой целью можно использовать стоячие волны, создаваемые в объемном резонаторе. Теория позволяет связать размеры резонатора и его резонансную частоту с фазовой скоростью электромагнитных волн. В случае плоского резонатора длиной эта связь выражается соотношением , где целое число. Измеряя в вакууме частоту резонанса непосредственным сравнением с эталоном частоты и длину резонатора – сравнением с эталоном длины интерференционными методами, Л. Эссен в 1950 г. получил для скорости электромагнитных волн длиной около 10 см значение км/с.

Обратимся к вопросу о скорости света в веществе. Понятие скорости возникло в механике для описания движения частицы (материальной точки). В волновом движении происходит перенос состояния (т.е. значений поля) из одного места в другое. В общем случае понятие скорости неоднозначно.

В среде без дисперсии всякое возмущение распространяется без изменения своей формы, и введение скорости волнового движения не вызывает затруднений. В среде с дисперсией возмущение по мере распространения деформируется, и понятие скорости становится неопределенным. Поэтому, прежде всего, требуется само понятие скорости распространения по отношению к рассматриваемому объекту.

Поясним эту проблему простым примером. Для движения изменяющего свою форму не существует однозначного понятия скорости: можно говорить о скорости движения его переднего края («фронта»), о скорости его центра тяжести и т.д.

Аналогично обстоит дело со скоростью волнового движения в диспергирующей среде. Здесь приходится вводить ряд дополнительных понятий: скорость группы, скорость энергии, скорость фронта, скорость сигнала и т.д.

В любом опыте мы всегда имеем более или менее сложный импульс или, как говорят, «волновой пакет», ограниченный в пространстве и во времени. При определенных условиях деформация («расплывание») волнового пакета происходит медленно и можно говорить о его скорости, рассматривая скорость какой-либо точки пакета, например, соответствующей максимальной амплитуде. На то, что скорость пакета будет отличаться от фазовой скорости любой из составляющих его монохроматических волн, впервые обратил внимание Стокс.

Рассмотрим модулированную волну, возникающую в результате наложения двух монохроматических волн одинаковой амплитуды с близкими значениями

длин волн и .

В результирующей волне максимумы

амплитуды образуются в тех местах, куда обе

волны приходят в одинаковой фазе (там, где

совпадают «горбы» волн). Там, где «горб»

одной волны совпадает с впадиной другой

(колебания происходят в противофазе),

результирующая волна имеет нулевую

амплитуду. Полученную картину можно

рассматривать как последовательность

отдельных «волновых групп». При

каждая группа содержит большое число периодов.

Если скорости складываемых волн одинаковы,

то результирующая модулированная волна

распространяется с той же скоростью, не изменяя

своей формы.

При наличии дисперсии монохроматические составляющие имеют несколько различающиеся скорости и . Поэтому взаимное расположение их горбов и впадин меняется с течением времени.

 

 

На рисунке показано относительно расположение (a) двух монохроматических волн разной длины и одинаковой амплитуды и (б) результат их суперпозиции.

Общий вид результирующей волны остается прежним, однако центры отдельных групп с течением времени смещаются относительно горбов и впадин исходных волн, т.е. движутся с иной скоростью, нежели складываемые монохроматические волны. Скорость движения центров этих волн называют групповой скоростью.

Найдем связь между фазовой скоростью движения монохроматической волны и групповой скоростью. Будем для определенности считать, что скорость монохроматических волн растет с увеличением длины волны (нормальная дисперсия).

В области нормальной дисперсии большей

скоростью будет обладать волна, имеющая

большую длину.

Поэтому, как показано на рисунке, “нижняя”

волна, имеющая длину , обгоняет

“верхнюю” волну длиной .

Пусть в некоторый момент времени совпадают

горбы и этих волн, т.е. центр группы волн

приходится на точку .

Через некоторое время горб обгонит

горб , но совпадут горбы и .

Это значит, что центр группы волн за это время сместился назад на расстояние, равное длине волны , и совпадает теперь с точкой .

Т.о., находим, что скорость центра группы меньше фазовой скорости верхней волны на величину :

.

Время , в течение которого горб «догоняет» горб , определяется как .

Если группа образована монохроматическими волнами, длины которых отличаются на малую величину, то устремляя в пределе получаем выражение для групповой скорости в виде:

.

Полученное выражение носит название формулы Рэлея.

При отсутствии дисперсии , и групповая скорость совпадает с фазовой. При нормальной дисперсии , поэтому групповая скорость меньше фазовой: . В области аномальной дисперсии , и формула Рэлея дает .

Формула Рэлея справедлива не только для скорости перемещения бесконечной череды волновых групп, образующихся при сложении двух монохроматических волн. При определенных условиях она характеризует также скорость движения центра одиночного волнового пакета, образованного непрерывным набором монохроматических составляющих. Эти условия касаются как самого волнового возмущения, так и свойств среды, в которой оно распространяется – для монохроматических волн, входящих в состав рассматриваемого возмущения и имеющих длины в интервале , фазовая скорость каждой волны в среде должна в хорошем приближении представлять линейную функцию длины волны. Другими словами, групповая скорость, определяемая формулой Рэлея, в пределах заданного интервала длин волн должна быть постоянной.

Простой графический способ нахождения групповой скорости по кривой зависимости скорости волны от её длины был предложен Эренфестом.

Отрезок, отсекаемый на оси ординат касательной в точке к

кривой , равен , т.е. значению групповой скорости

при данной длине волны .

Приведенный рисунок хорошо иллюстрирует смысл

сформулированного условия: если любая огибающая суммы двух

произвольных монохроматических составляющих из интервала

перемещается с одной и той же скоростью , то и весь импульс

будет перемещаться с этой же скоростью, не изменяя своей формы,

т.е. не «расплываясь».

Часто бывает удобно использовать для записи групповой скорости вместо длины волны волновое число (модуль волнового вектора) : .

Существуют и другие эквивалентные формулы для преставления групповой скорости –

через частоту как функцию волнового числа : ;

или через показатель преломления, заданный как функция частоты : .

В области аномальной дисперсии групповая скорость, определяемая по формуле Рэлея, оказывается больше . Это связано с тем, что изменение показателя преломления вблизи собственной частоты атомных осцилляторов происходит нелинейно, поэтому импульс по мере распространения неизбежно деформируется. В таких условиях на конечном интервале расстояний максимум огибающей может перемещаться со скоростью, превосходящей скорость света в вакууме (или даже с отрицательной скоростью), но этот результат не противоречит постулату теории относительности, т.к. эта скорость связана с “внутренней” перестройкой импульса и не может быть использована для передачи сигнала.