Центральная предельная теорема

 

ЦПТ представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.

Теорема Ляпунова. Если - независимые СВ, у каждой из которых существует математическое ожидание , дисперсия , абсолютный центральный момент третьего порядка , и , то закон распределения суммы этих СВ при неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией .

 

Сформулируем ЦПТ для случая, когда члены суммы имеют одинаковое распределение, поскольку он чаще других используется на практике.

Теорема. Пусть СВ независимы, одинаково распределены, имеют конечные математическое ожидание , дисперсию и абсолютные центральные моменты третьего порядка , . Тогда функция распределения центрированной и нормированной суммы этих СВ стремится при к функции распределения стандартной нормальной СВ:

,

.

Согласно этой теореме, при достаточно большом n . Это означает, что сумма . Говорят, что при СВ асимптотически нормальна.

Проверим выполнение условия:

.

Теорема позволяет при больших n вычислять вероятности различных событий, связанных с суммами СВ:

.

Часто ЦПТ используется, если .

 

Пример 3

Независимые СВ распределены равномерно на отрезке . Найти закон распределения СВ , а также вероятность того, что .

 

Условия ЦПТ соблюдаются, поэтому СВ имеет приближенно плотность распределения

.

Так как , , , то

;

;

.

Тогда .

 

Следствиями ЦПТ являются рассмотренные ранее локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Приведем вывод интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Рассмотрим схему Бернулли. Пусть - число появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может появиться с вероятностью p. СВ , где - независимые СВ такие что, , если в i-ом испытании появилось событие А, и , если событии А не появилось.

Так как СВ , , независимы и одинаково распределены, , , то согласно ЦПТ при большом n .

Тогда , где , . Получили интегральную теорему Муавра-Лапласа.

 

Пример 4

Машинистке требуется напечатать текст, содержащий 8000 слов, состоящих из четырех и более букв. Вероятность сделать ошибку в любом из этих слов равна 0,01. Какова вероятность, что при печатании будет сделано не более 90 ошибок?

.

Тогда , где , . Получили интегральную теорему Муавра-Лапласа.

 

Вероятность того, что событие А в n независимых испытаниях произойдет k раз можно приближенно вычислить по формуле:

.

Чем меньше , тем точнее приближенное равенство. Минимальное целое число .

Можно записать:

,

где , .

При малом имеем , где - плотность распределения случайной величины , которая согласно ЦПТ имеет вид: .

Получаем локальную теорему Муавра-Лапласа: , где - функция Гаусса, .