КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

В задачах 1-10 приведены схемы соединения элементов, на которых указаны вероятности исправной работы элементов. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится элемент. Предполагается, что элементы работают независимо друг от друга. Найти вероятность прохождения сигнала через цепь.

11. Во взводе 20 стрелков, из которых 15 хороших и 5 слабых. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для хорошего и слабого стрелков равны соответственно 0,9 и 0,6. Наудачу вызванный стрелок, сделав 3 выстрела, попал один раз. К какой категории стрелков вероятнее всего принадлежит вызванный стрелок?

12. Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узла необходима для работы прибора в целом. Вероятность безотказной работы в течение времени t первого узла равна р₁, второго - р₂ . Прибор испытывался в течение времени t, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя (отказал). Какова вероятность того, что отказал только первый узел, а второй - исправен.

13. По каналу связи передается один из двух возможных сигналов х₁ или х₂, причем первый в два раза чаще чем второй. Из-за наличия помех возможны искажения: вместо передаваемого сигнала х₁ на приемном конце может быть принят сигнал х₂ и наоборот. Свойства канала связи таковы, что сигнал х₁ искажается в 10% случаев, а сигнал х₂ - в 40% случаев. Определить: а)вероятность правильного приема сигнала; б) вероятность того, что принят сигнал х₂; в)вероятность того, что принят сигнал х₂, если принят сигнал х₁.

14. 20% приборов монтируется с применением микромодулей, остальные — с применением интегральных схем. Надежность прибора с применением микромодулей - 0,9, интегральных схем —0,8. Найти: а) вероятность надежной работы наугад взятого прибора; б) вероятность того, что прибор — с микромодулем, если он был исправен.

15. По линии связи передано два сигнала типа А и В с вероятностью соответственно 0,8 и 0,2. В среднем принимается 60% сигналов типа А и 70% типа В. Найти вероятность того, что: а) посланный сигнал будет принят; б) принятый сигнал типа А.

16. В двух коробках имеются однотипные конденсаторы. В первой 20 конденсаторов, из них 2 неисправных, во второй — 10, из них 3 неисправных. а) Найти вероятность того, что взятый наугад конденсатор из случайно выбранной коробки годен к использованию. б) Наугад взятый конденсатор оказался годным. Из какой коробки он вероятнее всего взят?

17. Телеграфное сообщение состоит из сигналов "точка" и "тире", они встречаются в передаваемых сообщениях в отношении 5:3. Статические свойства помех таковы, что искажается в среднем 2/5 сообщений "точка" и 1/3 сообщений "тире". Найти вероятность того, что а) передаваемый сигнал принят без искажений; б) принятый без искажений сигнал — "тире".

18. В состав блока входят 6 радиоламп первого типа и 10 второго. Гарантийный срок обычно выдерживают 80% радиоламп первого типа и 90% второго типа. Найти вероятность того, что: а) наугад взятая радиолампа выдержит гарантийный срок; б) радиолампа, выдержавшая гарантийный срок, первого типа.

19. В дисплейном классе имеется 10 персональных компьютеров первого типа и 15 второго. Вероятность того, что за время работы на компьютере первого типа не произойдёт сбоя, равна 0,9, а на компьютере второго типа — 0,7. Найти вероятность того, что: а) на случайно выбранном компьютере за время работы не произойдёт сбоя; б) компьютер, во время работы на котором не произошло сбоя, — первого типа.

20. Известно, что 96% выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, отвечает стандарту.

21. В семье четверо детей. Принимая равновероятным рождение мальчика и девочки, найти вероятность того, что мальчиков в семье: а) три; б) не менее трех; в) два.

22. Вероятность успешной сдачи студентом каждого из пяти экзаменов равна 0,5. Найти вероятность успешной сдачи: а) трех экзаменов; б) двух экзаменов; в) не менее двух экзаменов.

23. Оптовая база обслуживает шесть магазинов. Вероятность получения заявки базой на данный день для каждого из магазинов равна 0,6. Найти вероятность того, что в этот день будет: а) пять заявок; б) не менее пяти заявок; в) не более пяти заявок.

24. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Найти вероятность того, что сообщение из 10 знаков: а) не будет искажено; б) содержит три искажения; в) содержит не более трех искажений.

25. Продукция, поступающая из цеха в ОТК, не удовлетворяет условиям стандарта в среднем в 8% случаев. Найти вероятность того, что из наугад взятых семи изделий не удовлетворяют условиям стандарта: а) шесть изделий; б) не менее шести изделий; в) менее шести изделий.

26. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 144 испытаниях событие наступит 120 раз.

27. Среднее число машин, прибывающих в автопарк за 1 мин, равно двум. Найти вероятность того, что за 5 мин прибудет не менее двух машин, если поток прибытия машин простейший.

28. Станок состоит из 2000 независимо работающих узлов. Вероятность отказа одного узла в течение года равна 0,0005. Найти вероятность отказа в течение года двух узлов.

29. Вероятность отклонений от принятого стандарта при штамповке клемм равна 0,02. Найти вероятность наличия в партии из 200 клемм от 70 до 80 клемм, не соответствующих стандарту.

30. На узел связи поступает в среднем 120 сообщений в час. Полагая, что поток сообщений пуассоновский, найти вероятность того, что в течение минуты поступит: а) не более одного сообщения; б)ровно три сообщения; в)не менее пяти сообщений; г) более трех сообщений; д) не менее четырех сообщений.

31-40. Найти закон распределения указанной дискретной СВ Х и ее функцию распределения F(x). Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение s(Х). Построить график функции распределения F(x).

1. Вероятность приема каждого из четырех радиосигналов равна 0,6. СВ Х — число принятых радиосигналов.

2. При установившемся технологическом процессе предприятие выпускает 2/3 своих изделий первым сортом и 1/3 вторым сортом. СВ Х — число изделий первого сорта из взятых наугад четырех.

3. Вероятность отказа прибора за время испытания на надежность равна 0,2. СВ Х — число приборов, отказавших в работе, среди пяти испытываемых.

4. Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока для телевизоров первого типа равна 0,9, второго типа — 0,7, третьего типа — 0,8. СВ Х — число телевизоров проработавших гарантийный срок, среди трех телевизоров разных типов.

5. Вероятность перевыполнения плана для СУ-1 равна 0,9, для СУ-2 — 0,8, для СУ-3 — 0,7. СВ Х — число СУ, перевыполнивших план.

6. Вероятность сдачи данного экзамена для каждого из четырех студентов равна 0,8. СВ Х — число студентов сдавших экзамен.

7. Вероятность того, что деталь с первого автомата удовлетворяет стандарту, равна 0,9, для второго автомата — 0,8, для третьего — 0,7. СВ Х — число деталей, удовлетворяющих стандарту, при условии, что с каждого автомата взято наугад по одной детали.

8. Из 30 приборов, испытываемых на надежность, 5 высшей категории. Наугад взяли 4 прибора. СВ Х — число приборов высшей категории среди отобранных.

9. Проводятся три независимых измерения исследуемого образца. Вероятность допустить ошибку в каждом измерении равна 0,01. СВ Х — число ошибок, допущенных в измерениях.

10. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/6. СВ Х — число выигрышных билетов из четырех.

Случайная величина Х подчинена закону с плотностью распределения f(x). Найти коэффициент А, построить график f(x), найти функцию распределения F(x) и построить ее график, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, найти вероятность попадания величины Х в интервал от до .

№ задачи	f(X)	a	b	№ задачи	f(X)	a	b

		0,25	0,5				0,5

		0.5				-¥	m_x
		2,5	3,5

51.Все значения равномерно распределенной случайной величины X лежат на отрезке [2;8]. Найти вероятность попадания случайной величины X в промежуток (1;5).

52. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего деления. Считая, что ошибки измерения распределены равномерно, найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, меньшая 0,04.

53-54. Длительность времени безотказной работы элемента T — случайная величина, распределенная по показательному закону . Определить вероятность того, что в течение времени t:

53. - элемент откажет (l=0,5, t=3)

54. - элемент не откажет (l=2, t=1)

55-56. Время устранения повреждения на канале связи T — случайная величина, распределенная по закону . Среднее время восстановления канала — 10 минут. Определить вероятность того, что на восстановление канала потребуется

55. - более 10 минут,

56. - от 5 до 10 минут.

57-60. Случайная величина X распределена нормально.

57. Вычислить вероятность ее попадания в интервал (20, 70), если M(X)=40 и D(X)=100.

58. Найти дисперсию, если M(X)=12 и P(10<X<14)=0,9808.

59. Найти границы интервала (a, b), симметричного относительно M(X), в который случайная величина попадает с вероятностью p=0,975, если M(X)=18, D(X)=0,0576.

60. Найти вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал (30, 60), если M(X)=40; D(X)=25.

61-70. При изучении выборочным путем срока службы микросхем получено выборочное распределение.

№	Срок службы тыс. ч.
Задачи	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10	10-12	12-14
	Количество ламп

1. Определить относительные частоты и построить гистограмму относительных частот.

2. С помощью метода произведений вычислить выборочное среднее и выборочную дисперсию s².

План 1998/1999, поз. 46

ГладковЛев Львович

Гладкова Галина Александровна

Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов – заочников всех специальностей.

Редактор Вердыш Н.В.

Подписано к печати 28.09.99

Формат 60S84/16

Усл. Печ. Л. 1,8. Уч. - изд. Л. 1,5

Тираж 130экз. Заказ 132

Высший государственный колледж связи

220114 г. Минск, Староборисовский тракт 8, к. 2.