Отборочная олимпиада, старшая группа (24.01.2014) VII региональный турнир по мат. боям, Томск

 

1. Упростите выражение

Ответ. 5.

Решение.

 

2. В Мексике экологи добились закона, по которому каждый автомобиль хотя бы один день в неделю не должен ездить (владелец сообщает полиции номер автомобиля и «выходной» день недели этого автомобиля). В некоторой семье все взрослые желают ездить ежедневно (каждый — по своим делам!). Сколько автомобилей должно быть в семье, если взрослых в ней а) 5 человек, б) 8 человек?

Решение. а) 5 автомобилей не хватит, а 6 — достаточно: нужно только позаботиться о том, чтобы их выходные были в разные дни; б) 9 автомобилей не хватит: в какой-то день недели 2 из них должны простаивать, так что на ходу только 7 автомобилей, а нужно 8. А 10 автомобилей достаточно: выходные можно распределить так, что каждый день будут простаивать не больше двух автомобилей.

 

3. Может ли n! оканчиваться ровно на 5 нулей?

Ответ. Нет.

Решение. В 24! — 4 нуля, а в 25! — уже 6 нулей.

 

4. Решите уравнение

Ответ.

Решение. Из данного уравнения следует, что Возводя обе части в квадрат и извлекая кубический корень, получаем: откуда Проверка показывает, что только — корень данного уравнения.

 

5. В треугольнике ABC сторона AB равна 2, ÐA = 60°. На стороне AC взята точка D так, что AD = 1. Чему равен ÐBDC?

Ответ. 90°.

Решение. Пусть E — середина AB, т.е. AE = EB = 1. Тогда DADE — равносторонний, следовательно, DE = BE и DBED — равнобедренный. Значит, ÐDBE = ÐBDE = ÐDEA = 30°. И, следовательно, ÐBDC = ÐDBA + ÐDAB = 90°.

 

6. Найдите все значения параметра а, при которых отрезок принадлежит множеству решений неравенства

Ответ.

Решение. Область допустимых значений параметра описывается неравенством где Решением неравенства является промежуток (–2; 5). В итоге требуется решить систему неравенств:

7. Решите в целых числах систему уравнений

Ответ. (1; 1; 0).

Решение. Из второго уравнения xy ³ 1, т.е. x и y одного знака, тогда (из первого уравнения) x > 0, y > 0.

 

8. Найдите многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число

Решение. Пусть Тогда

Значит, искомый многочлен имеет вид: