III Выражение смешанного произведения через проекции

Пусть , и . Тогда

по определению имеем:

В полученном выражении легко увидеть разложение определителя, составленного из проекций перемножаемых векторов. Итак, имеем формулу, выражающую смешанное произведение трех векторов через проекции сомножителей:

.

 

 

IV Условие компланарности векторов

Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т.е.

.

Действительно, если и компланарные, то лежит в плоскости векторов и , а вектор перпендикулярен этой плоскости (по определению векторного произведения). Но тогда, , а значит .

С другой стороны, если определитель равен нулю, то одна из его строк есть линейная комбинация двух других, т.е. один из векторов есть линейная комбинация двух других, а значит лежит в плоскости этих двух векторов (заметим, что все векторы считаются приведенными к общему началу).

Пример. Даны вершины тетраэдра A(3;2;1), B(1;4;–2), C(3;6;–7)

и D(–4;–5;8). Найти его объём и длину высоты, опушенной из вершины D.

Решение. Найдем векторы, идущие из вершины А тетраэдра по его ребрам:

Найдем смешанное произведение этих векторов

.

Объем параллелепипеда, построенного на равен (знак “–“ говорит о том, что эта тройка векторов левая). Объем тетраэдра, построенного на трех векторах, составляет одну шестую часть объема параллелепипеда, построенного на тех же векторах. Итак, искомый объем равен . С другой стороны,

,

оттуда . Площадь же основания найдем как половину модуля векторного произведения соответствующих векторов: если высота опускается из вершины D, то основание – это ΔАВС. Находим векторное произведение:

.

Тогда

.

Итак,