IV Выражение скалярного произведения через проекции

Пусть известны проекции векторов на оси некоторой ДПСК: Запишем разложения этих векторов по базису :

Базисные векторы – единичные, значит, их скалярные квадраты равны 1; они взаимно перпендикулярные значит . Перемножая разложения почленно, получим

. (3)

Это и есть формула, выражающая скалярное произведение векторов через их проекции на оси ДПСК.

Из формулы (3) можно получить ряд важных следствий.

1. Длина вектора вычисляется по формуле

.

2. Угол φ между векторами и определяется равенством

3. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и является равенство

.

4. Если ось и составляет с осями координат углы , то проекция вектора на эту ось определяется равенством

. (4)

Для доказательства (4) рассмотрим единичный вектор одинаково направленный с осью и. Тогда: 1) ; 2) Но из определения следует

.

Остается в этой формуле положить и воспользоваться формулой (3)

и тем, что

5. Если , то .