Линейная зависимость векторов

Векторы называются линейно зависимыми, если существуют действительные числа из которых, по меньшей мере, одно отлично от нуля, такие, что

В противном случае (т.е. когда таких чисел не существует) векторы называются линейно независимыми; другими словами, векторы линейно независимы, если это равенство выполняется лишь при

Теорема.

Чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, Чтобы по меньшей мере один из них был линейной комбинацией остальных.

Теорема.

Два вектора и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Теорема.

Если и - два неколлинеарных вектора некоторой плоскости, то любой третий вектор а той же плоскости можно единственным образом разложить по ним, т.е. представить в виде

Теорема. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Теорема. Если векторы не компланарны, то любой вектор а можно единственным образом разложить по ним, т.е.

Теорема.

Всякие четыре вектора трехмерного пространства линейно зависимы.