Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением вектора а на вектор b называется третий вектор, обозначаемый символом [а,b] и удовлетворяющий следующим условиям:

1. , где - угол между векторами а и b;

2. Вектор [а,b] перпендикулярен каждому из векторов а и b;

Из условия 1 следует, что модуль векторного произведения [а,b] равен площади S параллелограмма, построенного на векторах а и b (рис.), т.е.

Пусть векторы а и b коллинеарны, т.е. =0 или , тогда следовательно,

 

Векторное произведение двух векторов обладает свойствами:

1) антиперестановочности множителей

2) сочетательности относительно скалярного множителя

3) распределительности относительно сложения

Вопрос о выражении векторного произведения через координаты перемножаемых векторов решает следующая теорема.

Теорема

Векторное произведение [а,b] двух векторов

выражается формулой

 

Следствие 1.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, вычисляется по формуле

 

Следствие 2.

Площадь треугольника АВС определяется формулой