Свободные затухающие колебания

Если в контуре присутствует сопротивление R то на нем выделяется тепло согласно закону Джоуля – Ленца и колебания становятся затухающими. Согласно второму правилу Кирхгофа, для контура, содержащего катушку индуктивностью L, конденсатор емкостью С и резистор R можно записать

или (4)

где U_c = = q/C — напряжение на конденсаторе, e_s - э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока, IR – падение напряжения на сопротивлении. Следовательно, уравнение (4) можно привести к виду

,

или разделив на L при учете, что I=dq/dt, а dI/dt=d²q/dt² получим дифференциальное уравнение колебаний заряда q в контуре или дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда q в контуре:

(5)

Они происходит с собственной частотой

Здесь , а - коэффициент затухания.

Решение данного уравнения имеет вид , т.е. амплитуда колебаний заряда уменьшается по экспоненциальному закону.

Колебания происходят с частотой

Если w₀<b, то колебания прекращаются

Время релаксации колебаний .

Логарифмический декремент затухания имеет вид

Добротность контура