Пучок задан парой пересекающихся прямых.

Дано. R = , l₁ : A₁x + B₁y + C₁ = 0, l₂ : A₂x + B₂y + C₂ = 0 (рис. 44).

Найти уравнение пучка.

Решение. Пусть l₁ Ç l₂ = С и С(х₀, у₀). Точка С будет центром пучка. Используя уравнение (36) получим, что прямая l принадлежит пучку Û l : . Здесь вектор - любой ненулевой вектор. Из уравнений прямых l₁ и l₂ векторы и параллельны прямым l₁ и l₂ соответственно, поэтому они не коллинеарны. Следовательно, любой вектор , где a, b - любые действительные числа, не равные нулю одновременно. Отсюда . Уравнение (36) перепишется . После преобразования получим:

(*).

Так как С = l₁ Ç l₂, то A₁x₀ + B₁y₀ + C₁ = 0 и A₂x₀ + B₂y₀ + C₂ = 0. Отсюда -( A₁x₀ + B₁y₀) = С₁, -( A₂x₀ + B₂y₀) = 0. Подставив в (*), получим уравнение данного пучка

(37)

В уравнении (37) тоже две пары переменных (a, b) и (х, у).

Задача 15. Дано: R = , l₁ : 3х + 4у +12 = 0, l₂ : 4х + 3у - 24 = 0, l₃ : х + 2у + 3 = 0.

Найти уравнение прямой l, Если l ' (l₁ Ç l₂) и l ^ l₃.

Решение. Так как l ' (l₁ Ç l₂), то l принадлежит пучку прямых, определяемому прямыми l₁ и l₂. Следовательно, уравнение l можно искать в виде

a(3х + 4у +12 ) + b(4х + 3у - 24) = 0 (*)

Преобразовав это уравнение, получим (3a + 4b)х + (4a +3b)у + (12a - 24b) = 0 (**).

Используем условие перпендикулярности прямых (33). Получим 1×(3a + 4b) + 2×(4a +3b) = 0, или 11a + 10b = 0. Так как все решения этого уравнения пропорциональны, а уравнение (*) при пропорциональных парах (a, b) задаёт одну и ту же прямую, то достаточно найти одну ненулевую пару (a, b). При a = 10 b = -11. Подставив в (**), получим уравнение l: 14х - 4у - 384 = 0.