Закон больших чисел

Неравенство Маркова: .

Неравенство Чебышева:

Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Если Х₁, Х₂,…, Х_n,… – независимые случайные величины с одинаковым законом распределения, математическим ожиданием т и дисперсией σ², то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному.

 

162. Среднее изменение курса акций компании в течение одних биржевых торгов составляет 0,3%. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится более чем на 3%.

163. Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. Оценить вероятность того, что сегодня в отделении банка будет обслужено: а) не более 200 клиентов; б) более 150 клиентов.

164. Электростанция обслуживает сеть на 1600 электроламп, вероятность включения каждой из которых вечером равна 0,9. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, что число ламп, включённых в сеть, отличается от своего математического ожидания не более чем на 100 (по абсолютной величине). Найти вероятность того же события, используя интегральную теорему Муавра-Лапласа.

165. Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,08. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.

166. Среднее значение длины детали 50 см, а дисперсия – 0,1. Используя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не менее 49,5 и не более 50,5 см. Уточнить вероятность того же события, если известно, что длина случайно взятой детали имеет нормальный закон распределения.

167. Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от её математического ожидания будет не более двух средних квадратических отклонений (по абсолютной величине).

168. В течение времени t эксплуатируются 500 приборов. Каждый прибор имеет надёжность 0,98 и выходит из строя независимо от других. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, что доля надёжных приборов отличается от 0,98 не более чем на 0,1 (по абсолютной величине).

169. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0,7. С помощью неравенства Чебышёва оценить вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из 2000 студентов заключена в границах от 0,66 до 0,74.

170. В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона – безработные. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9 до 11% (включительно).

171. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый пятый договор. Оценить с помощью неравенства Чебышёва необходимое количество договоров, которые следует заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от 0,1 не более чем на 0,01 (по абсолютной величине). Уточнить ответ с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

172. В целях контроля из партии в 100 ящиков взяли по одной детали и измерили их длину. Требуется оценить вероятность того, что вычисленная по данным выборки средняя длина детали отличается от средней длины детали во всей партии не более чем на 0,3 мм, если известно, что среднее квадратическое отклонение не превышает 0,8 мм.

173. Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,9973, утверждать, что погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 0,03?