Аксиоматическое определение вероятности

Вероятность события в современном построении курса определяется аксиоматически (аксиоматическая структура теории вероятностей была предложена советским математиком А. Н. Колмогоровым в 1933 году). Дадим это определение в упрощенной трактовке.

Пусть т. е. событие образовано из каких-нибудь исходов пространства элементарных событий некоторого ис­пытания. Числовая функция , определенная на множе­стве всех событий этого испытания, называется вероятностью события , если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома 1: .

Аксиома 2: вероятность достоверного события .

Аксиома 3: если попарно несовместные события, то

– вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

В аксиоматическом определении свойства вероятности, справедливые для испытаний с равновозможными исходами, обобщены на случай произвольных испытаний. Эти свойства, в общем случае, ниоткуда не следуют, они постулируются. Именно так, с помощью некоторого набора аксиом, опреде­ляются исходные понятия в современной математике.

Можно показать, что «классическое определение» вероятности (3.4) получается как частный случай аксиоматического оп­ределения, если исходы испытания равновероятны,

Без доказательства приведем несколько следствий из аксиом 1–3:

1. , ( – невозможное событие).

2. Если , то .

3. , (вместе с аксиомой 1 имеем ).

4. Если исходы , , …, образуют пространство элементарных событий, то .

5. .