Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Предположим, что событие А может осуществляться с одним из несовместных событий , для которых известны вероятности и условные вероятности . Другими словами положим, что , тогда

. (3)

Соотношение (3) называется формулой полной вероятности.

Пусть в результате опыта произошло событие А. Требуется найти условные вероятности . Согласно теореме умножения вероятностей

,

откуда

, (4)

или

,

где . Полученная формула называется формулой Байеса.

Пример.

В тире имеется 6 ружей. Вероятность попадания в цель для двух из них равна 0,8, для трех – 0,9, а для одного – 0,3. Определить вероятность поражения цели при одном выстреле, если ружье выбрано произвольно.

Решение.

Гипотеза H₁ – выбор ружья с вероятностью попадания 0,8, H₂ – с вероятностью 0,9, H₃ – с вероятностью 0,3. Вероятности гипотез

.

Событие А – попадание в цель. Условные вероятности

заданы в условиях задачи. Тогда по формуле (3) имеем

.