Алгебраические операции.

Пусть дано множество М.

Определение. Говорят, что на М определена бинарная алгебраическая операция, если всякой упорядоченной паре элементов множества М по некоторому закону ставится в соответствие вполне определенный элемент этого же множества.

Примерами бинарных операций на множестве целых чисел являются сложение и умножение. Однако нашему определению не удовлетворяют, например, множество отрицательных чисел относительно умножения и множество действительных чисел относительно деления из-за невозможности деления на нуль.

Среди известных бинарных операций, производимых не над числами, можно отметить векторное умножение векторов пространства, умножение квадратных матриц порядка n, композицию отображений множества Х в себя, теоретико-множественное объединение и пересечение множеств.

	х1	х2	х3	х4
х1	х1	х2	х3	х4
х2	х2	х3	х1	х1
х3	х2	х3	х1	х2
х4	х4	х2	х1	х3

Фактическое задание алгебраической операции на множестве может быть произведено различными методами. Возможно также непосредственное перечисление всех результатов операций для конечных множеств. Его удобно описать с помощью, так называемой таблицы Кэли (табл.2). Слева и сверху квадратной таблицы выписывают все элементы множества. На пересечении строки, соответствующей элементу a, и столбца, соответствующего элементу b, записывают результат операции над a и b.

Будем употреблять следующую терминологию и символику: операцию называть умножением, а результат применения операции к элементам a и b – произведением ab.

Определение. Если для любых элементов a и b множества М справедливо равенство ab = ba, то операцию называют коммутативной.

Определение. Если для любых элементов a, b, c множества М справедливо равенство a(bc) = (ab)c, то операцию называют ассоциативной.

В ряде случаев множество М, на котором определена алгебраическая операция, обладает единичным элементом, т. е. таким элементом e, что ae = ea = a для всех a из М. Единичный элемент единственен.

Теорема. Если операция, определенная на М, ассоциативна, то результат ее последовательного применения к n элементам множества не зависит от расстановки скобок.

Самостоятельная работа № 1. (см. Приложение).