Примеры решения задач

При решении задач данного раздела, как правило, требуется применять первое начало термодинамики. Для этого следует определить вид процесса, происходящего с газом и применить соответствующие формулы для расчета изменения внутренней энергии и работы газа. В случае произвольного процесса первое начало термодинамики следует записывать в дифференциальной форме, а затем вычислять интегралы, исключая из подынтегральной функции некоторые параметры состояния при помощи уравнения Менделеева – Клапейрона. Аналогично решаются задачи на расчет изменения энтропии системы и определение коэффициента полезного действия. Рассмотрим конкретные примеры.

Задача 1. В двух цилиндрах, имеющих объемы и находится одинаковый газ при давлениях и и температурах и . Цилиндры соединяют трубкой с краном. Определить, какая температура и какое давление установятся в цилиндрах после того, как кран соединительной трубки будет открыт.

Решение

Внутренние энергии газа в первом цилиндре, газа во втором цилиндре и газа в обоих цилиндрах после смешивания соответственно равны:

, , , (2.3.1)

где и - количества вещества газов в цилиндрах, - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Согласно закону сохранения энергии

откуда с учетом (2.3.1) следует

. (2.3.2)

Для определения количества вещества воспользуемся уравнением состояния идеального газа:

, . (2.3.3)

Выражая из (2.3.3) количества вещества и подставляя в (2.3.2), получаем

. (2.3.4)

Подставляя числовые значения, находим

Из уравнения состояния для смеси газов

используя (2.3.3) и (2.3.4), находим

Задача 2. В длинной гладкой пустой (нет внешнего давления) теплоизолированной трубе находятся два поршня массами и , между которыми в объеме при давлении находится двухатомный газ. Поршни отпускают. Определить их максимальные скорости, если масса газа много меньше массы поршней.

Решение

Воспользуемся законами сохранения импульса и энергии. Поскольку согласно условию, труба теплоизолирована, газ будет совершать работу над поршнями без теплообмена с окружающей средой за счет внутренней энергии.

Предположим, что расширение газа будет бесконечным, следовательно, его внутренняя энергия будет стремиться к нулю. Тогда по закону сохранения энергии

, (2.3.5)

где - начальная внутренняя энергия газа.

По определению

, (2.3.6)

где число степеней свободы двухатомной молекулы . При помощи уравнения состояния идеального газа можно выразить внутреннюю энергию через объем и давление газа:

следовательно, (2.3.5) преобразуется к виду

. (2.3.7)

Поскольку по условию масса газа пренебрежимо мала, из закона сохранения импульса следует

. (2.3.8)

Решая систему уравнений (2.3.7), (2.3.8), находим максимальные скорости поршней

, .

Задача 3 . Температура некоторой массы идеального газа молярной массы меняется по закону , где . Найти работу, совершенную газом при увеличении объема от до . Поглощается или выделяется энергия в таком процессе?

Решение

Элементарная работа идеального газа определяется по формуле

. (2.3.9)

Выразим давление газа при помощи уравнения состояния идеального газа и уравнения , заданного по условию. Получаем

следовательно, (2.3.9) приводится к виду

. (2.3.10)

Интегрируя (2.3.10) от до , получаем

Поскольку, согласно закону расширения газа, с увеличением объема растет температура, совершенная газом работа и изменение его внутренней энергии положительны. Следовательно, по первому началу термодинамики газ должен поглощать тепло.

Задача 4. Азот, находившийся при температуре , подвергли адиабатному расширению, в результате которого его объем увеличился в раз, а внутренняя энергия уменьшилась на 4 кДж. Определить массу азота.

Решение

Работа газа при адиабатном расширении определяется по формуле ,

где показатель адиабаты , - число степеней свободы двухатомной молекулы.

Из первого закона термодинамики следует, что при адиабатном процессе ( )

. (2.3.11)

Учитывая, что по условию , из (2.3.11) получаем выражение для массы азота

Подставляя числовые значения, находим

Задача 5. Найти молярную теплоемкость идеального газа, расширяющегося по закону . При каких значениях теплоемкость будет равна нулю? Бесконечности?

Решение

Согласно определению молярной теплоемкости

. (2.3.12)

Воспользуемся первым началом термодинамики

, (2.3.13)

где внутренняя энергия одноатомного газа

. (2.3.14)

Для определения элементарной работы газа вычислим дифференциалы от уравнения состояния идеального газа и от заданного по условию закона его расширения:

(2.3.15)

. (2.3.16)

Решая совместно (2.3.15), (2.3.16), получаем

. (2.3.17)

Тогда из (2.3.12), (2.3.13), (2.3.14), (2.3.17) находим

Из условий и получаем и соответственно.

Задача 6. Коэффициент полезного действия цикла 1-2-3-4-1, представленного на рисунке, равен

. Определить КПД

цикла 1-3-4-1.

Решение

По определению КПД

. (2.3.18)

Работа, совершенная газом за цикл, равна площади фигуры на диаграмме. Очевидно, что работы газа в циклах 1-2-3-4-1 и 1-3-4-1 связаны друг с другом соотношением .

Участок 1-2 соответствует изохорному нагреванию, а участок 2-3 – изобарному расширению, следовательно, на этих участках газ получает тепло. Участок 3-4 соответствует изохорному охлаждению, а участок 4-1 – изобарному сжатию, следовательно, на этих участках газ отдает тепло. Так как участки 3-4 и 4-1 для обоих циклов одинаковы, количество теплоты , отдаваемое газом холодильнику в этих циклах одинаково.

Поскольку , из (2.3.18) получаем

. (2.3.19)

Подставляя найденное значение в формулу КПД цикла 1-3-4-1, находим

Задача 7. С одним молем одноатомного идеального газа совершают циклический процесс 1-2-3-1, изображенный на рисунке. В процессе 2-3 давление газа линейно зависит от объема, причем объем увеличивается вдвое. Состояниям 2 и 3 соответствует одинаковая температура. Найти КПД тепловой машины, работающей по такому циклу.

Решение

Определим при помощи условия соотношения между параметрами газа в состояниях 1, 2 и 3. Согласно уравнению состояния идеального газа для состояний 2 и 3 имеем

, . (2.3.20)