Аксиомы теории вероятностей

Каждому событию А поставим в соответствие некоторое число, называемое вероятностью события А, т.е. Р(А). Так как любое событие есть множество, то вероятность события есть функция множества.

Вероятность события должна удовлетворять следующим аксиомам:

1. Вероятность любого события неотрицательна: Р(А)≥0.

2. Вероятность достоверного события равна 1: Р(Ω)=1.

3. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если , то Р(А₁+А₂+…+А_n) = P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n).

Из аксиом 1, 2, 3 можно вывести основные свойства вероятностей:

1. Р(Ā)=1-Р(А).

2. Р(пустого множества)=0.

3. 0≤Р(А)≤1.

4. Р(А)≤Р(В), если А является подмножеством В.

5. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

6. Р(А+В)≤Р(А)+Р(В).

В случае произвольного (не обязательно конечного) пространства элементарных событий Ω аксиому 3 необходимо заменить более сильной, расширенной аксиомой сложения 3’:

Если имеется счетное множество несовместных событий А₁, А₂, …, А_n, …, , то .

Сформулированные аксиомы не определяют условной вероятности одного события относительно другого, которая вводится по определению.

Условная вероятность события В относительно события А есть отношение вероятности произведения событий к вероятности события А, т.е.Р_А(В)=Р(АВ)/Р(А), если Р(А) не равна 0.

Вероятностное пространство определяется тройкой компонент (символов) (Ω, S, P), где Ω - пространство элементарных событий, S – сигма-алгебра событий, P – вероятность.

Компонента S вероятностного пространства – σ-алгебра событий – представляет собой некоторую систему подмножеств пространства элементарных исходов (событий) Ω. Если Ω конечно или счетно, то любое подмножество элементарных исходов является событием, а σ-алгебра есть система всех этих подмножеств. Если же Ω более чем счетно, то оказывается, что не каждое произвольное подмножество Ω может быть названо событием. Причина этого заключается в существовании так называемых неизмеримых подмножеств. Поэтому в таком случае под событием понимается уже не любое подмножество пространства Ω, а только подмножество из выделенного класса S, а σ-алгебра есть система таки подмножеств.