Задача № 14.

14.1. В семи урнах содержится по 2 белых и 2 черных шара, а в трех урнах по 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность, что из урны, взятой наудачу, будет извлечен белый шар? Найти вероятность, что шар извлечен из урны и 7 белыми и 3 черными шарами, если он окажется белым.

14.2. Станок 30% времени обрабатывает деталь А, и 70% – деталь В. При обработке детали А он простаивает 10% времени, а детали В – 15%. Какова вероятность застать станок простаивающим? Найти вероятность, что станок, который застали простаивающим, находится в режиме обработки детали В.

14.3. Сборщик получает 45% деталей завода №1, 30% завода №2, остальные – с завода №3. Вероятность того, что деталь первого завода отличного качества 0,7; для деталей второго и третьего заводов эти вероятности равны соответственно 0,8 и 0,9. Найти вероятность, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется отличного качества. Какова вероятность, что взятая наудачу деталь, оказавшаяся отличного качества, изготовлена заводом №1?

14.4. Деталь проходит одну из трех операций обработки с вероятностью 0,25; 0,35; 0,40 соответственно. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02, на второй – 0,04, а на третьей – 0,05. Найти вероятность получения брака после обработки. Какова вероятность, что деталь прошла третью операцию обработки, если получен брак?

14.5. По цели производится три выстрела с вероятностью попадания 0,2 при каждом. Вероятность уничтожения цели при одном попадании равна 0,3; при двух попаданиях – 0,6; при трех – 0,9. Найти вероятность уничтожения цели. Какова вероятность, что было одно попадание, если цель уничтожена?

14.6. В первой урне 4 белых и 6 черных шаров, во второй 5 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар, после чего из второй урны извлекается один шар. Найти вероятность, что из первой во вторую урну был переложен черный шар, если извлеченный из второй урны шар оказался белым.

14.7. В цехе имеются три станка. Вероятность изготовления стандартной детали на первом станке составляет 0,78, на втором – 0,92, на третьем – 0,86. Ввиду различного местоположения рабочий выбирает первый станок с вероятностью 0,5; второй – 0,2; третий –0,3. Найти вероятность, что изготовленная им на выбранном станке деталь окажется нестандартной. Какова вероятность того, что деталь изготавливалась на третьем станке, если она оказалась нестандартной?

14.8. По команде «огонь» одно из трех орудий стреляет по мишени. Вероятность попадания для орудий равна соответственно 0,8; 0,8; 0,6. Команда «огонь» подается в 2 раза чаще первому орудию, чем второму и третьему по отдельности. Найти вероятность, что мишень окажется пораженной. Какова вероятность, что мишень была поражена выстрелом из 3-го орудия?

14.9. В первой урне 3 белых и 2 черных шара, во второй 3 белых и 5 черных. Из первой во вторую перекладывают, не глядя, два шара, после чего из второй урны извлекается шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым. Какова вероятность того, что из первой во вторую урну были переложены белый и черный шары, если из второй урны извлечен белый шар?

14.10. На сборку поступили транзисторы с двух заводов–изготовителей, причем первый завод поставил 30%, остальные – второй. Вероятность отказа для транзистора первого завода 0,1, а второго – 0,15. В блок поставлено два наудачу взятых транзистора. Найти вероятность, что блок неисправен. Какова вероятность, что оба транзистора изготовлены вторым заводом, если блок неисправен? Блок не работает, если дефект имеет хотя бы один транзистор.

14.11. Пятнадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета. Какова вероятность того, что студент сдал экзамен, ответив на вопросы из одного билета?

14.12. На общий конвейер поступают узлы, изготовленные двумя рабочими. Производительность второго рабочего вдвое больше, чем первого. Вероятность допустить брак для первого рабочего 0,075, а для второго 0,09. Найти вероятность, что поступивший на общий конвейер узел будет иметь брак. Какова вероятность, что узел, оказавшийся бракованным, изготовлен вторым рабочим?

14.13. Покупатель приобрел электролампочку. Известно, что в момент покупки партия содержала 60% продукции местного предприятия и 40% иногороднего. 500 часов работают безотказно каждые 90 из 100 лампочек местного завода и 80 из 100 иногороднего. Найти вероятность, что купленная лампочка проработает 500 часов. Какова вероятность того, что лампочка, проработавшая 500 часов местного производства?

14.14. Узлы поступают на общий конвейер с двух участков. Вероятность брака узла с первого участка – 0,05, со второго – 0,10. Второй участок имеет производительность в 1,5 раза больше, чем первый. Найти вероятность того, что взятый с конвейера узел окажется годным. Какова вероятность того, что годный узел изготовлен на первом участке?

14.15. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено два шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Вычислить вероятность вынуть белый шар из второй урны. Какова вероятность, что из первой урны во вторую урну было переложено 2 черных шара, если из второй урны, извлеченный наудачу шар оказался белым?

14.16. Первое орудие четырехорудийной батареи пристреляно так, что вероятность попадания равна 0,4. Остальные три орудия попадают с вероятностью 0,2. Для поражения цели достаточно одного попадания. Два орудия произвели по выстрелу. Найти вероятность поражения цели. Какова вероятность того, что первое орудие стреляло, если цель оказалась пораженной?

14.17. Для сигнализации о неполадке в работе автоматической линии используется один индикатор, принадлежащий с вероятностями 0,2; 0,3 и 0,5 к одному из трех типов, для которых вероятности срабатывания при нарушении нормальной работы линии равны соответственно 1,00; 0,75 и 0,40. Найти вероятность, что индикатор срабатывает при неполадке в работе линии. Какова вероятность, что для контроля используется индикатор 1-го типа, если он подал сигнал о произошедшей в работе линии неполадке?

14.18. Транзистор принадлежит к одной из трех партий с вероятностями 0,25; 0,5 и 0,25. Вероятность того, что транзистор проработает заданное число часов, для этих партий равна соответственно 0,8; 0,8 и 0,6. Определить вероятность, что транзистор проработает заданное число часов. Какова вероятность того, что проработавший заданное число часов транзистор принадлежит второй партии?

14.19. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый автомат дает 80%, остальные – второй. Первый автомат дает 1% брака, второй – 4%. Найти вероятность, что две проверенные детали окажутся бракованными. Определить вероятность того, что обе проверенные детали, оказавшиеся бракованными, изготовлены первым автоматом.

14.20. Из 20 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 8 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6 и 3 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел. Какова вероятность того, что он промахнулся? Найти вероятность того, что выбран стрелок из группы пяти метких, если он промахнулся.

14.21. Из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 плохо. На экзамен вынесено 20 вопросов. Отлично подготовленный студент знает все вопросы, хорошо подготовленный знает 16, посредственно – 10, плохо – 5. Найти вероятность, что вызванный наугад студент ответит на три произвольно заданных различных вопроса. Какова вероятность того, что студент, ответивший на три вопроса, подготовлен плохо?

14.22. Три монтажника ведут сборку однотипных приборов, причем производительности их труда относятся как 2:3:5. Вероятность сборки прибора отличного качества у них равны соответственно 0,8; 0,6 и 0,6. Найти вероятность, что взятый наудачу изготовленный ими прибор откажется отличного качества. Какова вероятность того, что прибор изготовлен первым рабочим, если он оказался отличного качества?

14.23. В первой урне 3 белых и 5 черных шаров, во второй 5 белых и 4 черных, а в третьей урне 2 белых и 3 черных шара. Из наугад выбранной урны извлекают один шар. Найти вероятность, что этот шар белый. Какова вероятность, что шар извлекался из первой урны, если он оказался белым?

14.24. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат делает 20% деталей, второй – 30%, остальные – третий. Первый автомат дает 0,2% брака, второй – 0,3%, третий – 0,1%. Найти вероятность поступления на сборку бракованной детали. Определить вероятность того, что бракованная деталь посткпила на сборку с первого автомата.

14.25. В первой урне 3 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 2 черных шара. Из выбранной наугад урны достали 2 шара. Найти вероятность, что они оба белые. Какова вероятность, что шары извлекли из второй урны, если они оба белые?

14.26. Вероятность выхода из строя первого второго и третьего элементов прибора равна соответственно 0,1; 0,2 и 0,3. Вероятность отказа прибора при выходе из строя одного элемента равна 0,2; двух элементов – 0,5; трех – 1. Определить вероятность отказа прибора. Найти вероятность того, что вышел из строя только один элемент, если прибор отказал.

14.27. Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объем продукции второго завода в 1,5 раза превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода 18%, а у второго – 8%. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени перемешали и пустили в продажу. Найти вероятность покупки бракованного изделия. Какова вероятность, что купленное бракованное изделие изготовлено на первом заводе?

14.28. На рубеж случайно вызывается один из трех стрелков. Вероятность вызова первого стрелка равна 0,3; второго – 0,5, а третьего – 0,2. Вероятности попадания для них 0,8; 0,9 и 0,6 соответственно. Найти вероятность, что цель будет поражена. Какова вероятность того, что стрелял второй стрелок, если цель поражена?

14.29. На сборку поступают детали с двух заводов–изготовителей, причем они поставляют их в равном количестве. У первого завода брак составляет 4%, у второго – 3%. Наугад взяли две детали. Найти вероятности, что они обе доброкачественные. Какова вероятность, что эти детали изготовлены первым заводом, если они обе доброкачественные?

14.30. Станок обрабатывает три вида деталей, причем затраты времени распределяются между ними в отношении 1:5:4. При обработке первой детали станок работает с максимальной нагрузкой в течение 70% времени, при обработке второй детали в течение 50%, а в третьем – 20% времени. Найти вероятность того, что в случайно выбранный момент времени станок будет работать с максимальной нагрузкой. Какова вероятность того, что работающий с максимальной нагрузкой станок обрабатывает деталь третьего вида?