Дифференциалы первого и высших порядков функции двух переменных.

 

Дифференциалом ф-и z=f(x,y) называется сумма произведений частных производных этой ф-и на приращения независимых переменных

Ф-я z=f(x,y) называется диф-ой в точке (х,у), если ее полное приращение может быть представлено в виде бесконечно малые величины при Δх→0, Δу→0.

Диф-ал ф-и 2х переменных, как и в случае одной переменной, представляет главную, линейную относительно Δх и Δу, часть полного прираще7ния ф-и. Геометрически диф-ал dz есть приращение аппликаты касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) к данной точке, когда переменная (х,у) получают приращение (Δх,Δу).

Необходимое условие диф-ти: если ф-я z=f(x,y) диф-ма в точке (х,у), то она имеет в этой точке частные производные по х и по у, причем .

Достаточное условие диф-ти: если ф-я z=f(x,y) имеет частные производные не только в некоторой точки (х,у), но и в некоторой ее окрестности и эти производные непрерывны в самой точке (х,у), то ф-я диф-ма в точке (х,у).

Диф-ом 2го порядка ф-и z=f(x,y) называют диф-ал от диф-ла 1го порядка.