Акустические резонаторы.

Реальные механические колебательные системы являются системами с распределёнными параметрами, т.е. их физические характеристики, обусловливающие колебательные свойства (упругость и масса), распределены непрерывно по всей колебательной системе.

Например, язычковый резонатор частотомера представляет собой тонкую однородную пластинку, в трубах органа резонирующий столб воздуха также равномерно распределён по длине трубы и т.д.

Рассмотрим в качестве примера резонатор в виде цилиндрической трубы длины L с одним открытым концом. Пусть через открытый конец в трубу поступает плоская волна .

Ha закрытом конце трубы происходит, как было показано выше, антифазное отражение волны, поэтому уравнение отражённой волны можно записать в виде:

 

 

В результате суперпозиции падающей и отражённой волн результирующее смещение частиц среды в трубе равно:

 

Усиление звука в таком резонаторе происходит при определенных размерах трубы. Максимум амплитуды колебаний на открытом конце резонатора (х = 0) наблюдается при условии

 

При n=0

Следовательно, если длина резонатора равна четверти длины падающей волны, на его открытом конце в любой момент времени амплитуда колебаний максимальна и равна 2а. Происходит усиление звука, труба "резонирует" на волне длины l..

При этом на закрытом конце резонатора (x=L) амплитуда колебаний частиц среды равна

т.е. на закрытом конце резонатора в любой момент времени амплитуда колебаний равна нулю. Иначе говоря, при определённом соотношении между длиной волны и длиной трубы в резонаторе устанавливается стоячая волна.

При n = 1 условие максимума амплитуды колебаний на открытом конце резонатора имеет вид:

 

 

т.е. длина резонатора в этом случае равна:

 

В этом случае амплитуда колебаний равна нулю в любой момент времени при условии:

т.е. при (на закрытом конце резонатора). Очевидно, что в нуль амплитуда колебаний

 

будет обращаться в нуль и при условии т.е. в точке резонатора с координатой

 

Таким образом, и в этом случае в резонаторе устанавливается стоячая волна с узлами в точках с координатами:

 

и с пучностями в точках с координатами .

 

 

Повторяя рассуждения, приходим к выводу, что резонанс будет наблюдаться и в том случае, если длина резонатора равна:

 

Графически картина образующихся в резонаторе стоячих волн при разных длинах падающих волн представлена на рис.138.

Частота колебаний, соответствующая n = 0, называется основным тоном, а другим значениям - обертонами. Так как длина волны lсвязана с частотой колебаний u соотношением

n = lu ,где n-скорость звука, частоты основного тона и обертонов для открытого с одного конца резонатора длины L равны

 

 

где: n=0,1,2,3,....

Таким образом, длина открытого с одного конца резонатора при резонансе должна быть равной нечетному числу четвертей длин падающей волны (нечётному числу половин стоячей волны).

Аналогично, для открытого с двух концов резонатора на его концах образуются кучности, поэтому длина резонатора при резонансе должна быть равной целому числу стоячих волн или, что то же самое, целому числу половин длин бегущих волн.

Закрытый с двух концов резонатор отличается от предыдущего случая тем, что на его концах образуются узлы, а условия резонанса - те же.

Подобным образом можно показать, что поперечным колебаниям закрепленной на концах струны соответствуют основной тон и обертоны. Картина распределений смещений в стоячей волне в струне аналогична резонатору, закрытому с обоих концов, т.е. в любом случае на концах струны образуются узлы

 

На практике часто применяется акустический резонатор Гельмгольца (рис.139), представляющий собой обычно сферическую полость объёма , снабжённую трубкой длины l и сечения S. Другие детали резонатора несущественны для последующего рассмотрения.

Объёмы сферической полости и соединённой с ней трубки заметно отличаются

При таком условии мы можем предполагать, что смещения частиц газа заметны только в трубке, а в сферической полости смещения малы, т.е. можно учитывать только деформа­цию газа в полости, пренебрегая его перемещением.

Таким образом, резонатор Гельмгольца может служить аналогией пружинного маятника. Массе тела пружинного маятника соответствует масса m=rSl газа в трубке, а пружине соответствует деформируемый объём газа в полости.

При смещении столба газа в трубке на х возникает сила упругости, действующая на столб газа со стороны деформированного объёма газа в сферической полости (по третьему закону динамики на газ в полости действует равная по величине сила): F=Dр • S, где Dр -изменение давления в полости.

Считая процесс быстропротекающим, пренебрегаем теплообменом, т.е. можем применить выводы для адиабатического процесса, описываемого уравнением:

 

откуда:

 

Следовательно, на столб газа в трубке действует сила:

 

 

F

Как видим, эта сипа является квазиупругой, поэтому в полости могут возникнуть колебания газа с частотой:

 

Используя полученное ранее выражение для скорости звука в газе:

 

 

получим окончательно, что:

 

т.е. резонансная частота (при отсутствии потерь) резонатора Гельмгольца определяется только объемом полости и размерами трубки, а также родом газа, заполняющего резонатор.