Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы при отсутствии трения.

Вынужденные колебания рассмотрим для системы с различными парциальными частями. В отличие от уже рассмотренного ранее случая предположим, что на одно из тел системы (например, первое) действует периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому закону .

Учитывая это, уравнения движения по второму закону динамики для обоих тел системы можно записать в виде:

 

 

Разделив на массу обе части уравнений движения, получим исходные дифференциальные уравнения:

 

 

Из второго из уравнений выражаем смещение первого тела и подставляем это значение в первое уравнение. В результате получаем дифференциальное уравнение для нахождения закона движения второго тела системы:

 

Уравнение является неоднородным (уравнением с правой частью), поэтому его решение надо искать в виде суммы двух решений. Первое из решений, соответствующее однородному уравнению, было рассмотрено выше:

 

 

Здесь мы уделим больше внимания второй части решения - частному решению неоднородного уравнения в целом. Поскольку внешняя сила изменяется с частотой со, и смещение второго тела представим в виде гармонической функции, изменяющейся с такой же частотой:

 

Если записанная функция является решением исходного дифференциального уравнения, после ее подстановки должно выполняться равенство:

 

.

 

Так как одновременно sinθ и cosθ не могут обращаться в куль, можно записать:

 

 

Из второго равенства следует, что φ = 0, а из первого с учётом этого результата получаем, что:

 

 

Как видно, при частотах вынуждающей силы, совпадающими с главными частотами колебаний системы = А±В наблюдается резонанс, при этом амплитуда колебаний второго тела обращается в бесконечность.

Закон движения первого тела системы с учётом уже найденного закона для второго тела:

 

 

Здесь следует отметить один очень важный результат. Когда частота вынуждающей силы, действующей на первое тело, совпадает с парциальной частотой для второй парциальной части, т.е. , то смещение первого тела равно нулю, колебания первого тела прекращаются : = 0.

Это свойство колебательных систем с несколькими степенями свободы имеет большое практическое значение. Многие механизмы находятся под действием периодических возмущений, что может сказаться на их работе. Но, как видно из приведенных результатов, путём соответствующего подбора параметров системы можно свести к минимуму влияние внешних периодических воздействий. Это свойство систем лежит в основе действия так называемых "успокоителей" или "гасителей" колебаний.

В качестве примера механического "гасителя" колебаний рассмотрим простейшую колебательную систему с одной степенью свободы, на которую может действовать периодическая внешняя сила. Система состоит из тела массы М и пружины жесткости . В первом приближении будем считать, что трение в системе отсутствует. К телу крепится вторая пружина жёсткости k, к другому концу которой прикреплено тело массы т. (рис. 132). По второму закону динамики:

 

 

Разделив обе части первого выражения на М, а второго - на m, получим дифференциальные уравнения движения:

 

 

Выражая из второго уравнения значение смещения первого тела и подставляя это значение в первое уравнение, получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

 

 

решением которого является, помимо общего решения однородного уравнения, и гармоническая функция х=asin(ωt+φ). Смещение же первого тела с учётом этого равно:

т.е.,при частоте вынуждающей силы,

совпадающей с частотой собственных колебаний

добавленной парциальной части, колебания

основной системы прекращаются.

 

Такие по принципу действия "гасители" колебаний применяются в автомобилях (система "подрессоривания"), в водяных поглотителях колебаний, уменьшающих бортовую качку корабля и т.д.

Рассмотренные выше колебательные системы с двумя степенями свободы являются простейшим случаем систем со многими степенями свободы. Характерные особенности простейших систем являются столь же характерными и для более сложных систем. В общем случае колебательную систему со многими степенями свободы можно представить комбинацией чередующихся в определённой последовательности масс и пружин, при этом отдельные массы и пружины могут быть различными. В предельном случае система имеет бесконечно большое число степеней свободы (масса и жёсткость равномерно распределены по всей системе). Такие системы называются системами с распределёнными параметрами. Примером их могут служить различные акустические резонаторы, струны, мембраны и т.д.

Анализ систем с распределёнными параметрами более сложен, поскольку характеристики процесса (например, смещение отдельных частей системы) зависят не только от времени, но и от координат точек пространства. Дифференциальные уравнения движения заменяются уравнениями в частных производных, а решение их описывают уже не просто колебательный процесс какой-либо выделенной части системы, а волновой процесс, в результате чего у систем с распределёнными параметрами появляется ряд свойств, отличающих их от систем с сосредоточенными параметрами.