Вынужденные колебания

Вынужденными называются колебания системы, возникающие под воздействием внешней силы. Характер этих колебаний определяется как свойствами самой колебательной системы, так и внешней силой. Основные особенности вынужденных колебаний рассмотрим на примере уже известной колебательной системы при условии, что на колеблющееся тело кроме сил упругости и вязкого трения действует ещё внешняя периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому закону:

По основному закону динамики можно составить дифференциальное уравнение движения:

(324)

Здесь, как и ранее:

и .

В отличие от уравнения (316), описывающего затухающие колебания, правая часть уравнения (324), не содержащая искомой переменной х, отлична от нуля. Такие уравнения называются неоднородными (или уравнениями с правой частью). Как известно из теории дифференциальных уравнений, решение неоднородного уравнения можно представить в виде суммы общего решения одно­родного уравнения, соответствующего данному неоднородному, и какого-либо частного решения всего неоднородного уравнения в целом. Однородное уравнение, соответствующее данному неодно­родному, получим, если правую часть уравнения (324) положить равной нулю, т.е. получим дифференциальное уравнение затуха­ющих колебаний, решение которого уже найдено. Что же касается частного решения всего неоднородного уравнения в целом, то оно может быть представлено гармонической функцией, изменяю­щейся с той же частотой, что и сама внешняя сила. При частоте вынуждающей силы, равной нулю, т.е. при действии постоянной внешней силы, тело отклоняется от положения равновесия и, когда сила упругости уравновесит внешнюю силу, движение прекратится. При бесконечно большой частоте вынуждающей силы тело, обладая массой (инертностью), не успевает получить заметное смещение за период колебаний. При промежуточных значениях частота амплитуда отлична от нуля, следовательно, амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. По том же соображениям фаза колебаний тела также должна зависеть от частоты вынуждающей силы и отличаться от фазы самой силы.

Первой частью решения уравнения (324) для однородного уравнения (затухающие колебания) через достаточно большой промежуток времени можно пренебречь. Поэтому мы будем рассматривать только вторую часть решения, т.е. частное решение уравнения (324) в виде гармонической функции.

Если гармоническая функция действительно является решение всего неоднородного уравнения, то после её подстановки в уравнение мы должны получить тождество

Как легко заметить, тождество будет выполняться при соблюдении следующих условий:

(325)

(326)

Из условия (326) получаем выражение для начальной фазы:

(327)

Возводя в квадрат и складывая (325) и (325), получим выражение для амплитуды колебаний

(328)

Выражения (327) и (328) показывают, что и начальная фаза колебаний, и их амплитуда зависят от частоты вынуждающей силы. При этом амплитуда при бесконечно большой частоте обращается в нуль, а при постоянной силе (w1=0) принимает некоторое постоянное значение, численно равное отклонению от положения равновесия. Имеет смысл более подробно изучить зависимость амплитуды колебаний от частоты. Очевидно, что экстремальные значения амплитуда будет принимать в тех случаях, когда экстремальным будет подкоренное выражение в знаменателе дроби. Для экстремальных значений подкоренного выражения производная от него по частоте должна обращаться в нуль:

Приведенному условию соответствует два значения частоты колебаний:

Чтобы определить, прикаких значениях частоты само подкоренное выражение принимает максимальное или минимальное значение, надо определить знак второй производной при указанных значениях частоты. Вторая производная от подкоренного выражения по частоте равна

После подстановки найденных значений частоты в выражение второй производной получаем:

Учитывая, что в реальных механических колебательных системах вязкость среды по отношению к собственной частоте мала, получаем, что при подстановке первого значения частоты вторая производная принимает отрицательное значение, а при подстановке второго - положительное. Это означает, что первое значение частоты соответствует минимуму амплитуды колебаний, а второе - максимуму.

Явление возрастания амплитуды колебаний при некоторых значениях частоты вынуждающей силы называется резонансом. Соответствующее значение частоты: называется резонансной частотой. Резонансная амплитуда колебаний принимает значение:

(329)

а соответствующее значение начальной фазы колебаний (смещение по фазе самих колебаний относительно вынуждающей силы:

(330)

Как видно из выражений (329) и (330), при отсутствии трения (n=0) амплитуда колебаний обращается в бесконечность, а колебание относительно вынуждающей силы смещено по фазе на p/2.

В реальных механических колебательных системах вязкость среды хотя и мала, но всё же не равна нулю. Поэтому амплитуда колебаний при резонансе принимает конечные значения, тем меньшие, чем больше коэффициент вязкости. На рис.84 представлены резонансные амплитудные характеристики, т.е. зависимости амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы при различных значениях вязкости:
 
 

Начальная фаза колебаний также зависит от частоты вынуждающей силы. Графики зависимости начальной фазы колебания от частоты вынуждающей силы, называемые фазовыми резонансными кривыми, для различных значений вязкости приведены на рис.85.

Из полученных результатов не совсем очевидным является то, что при резонансе колебание относительно вынуждающей силы смещено по фазе на p/2. На первый взгляд кажется, что смещение и вынуждающая сила должны совпадать по фазе. На самом деле работа силы будет положительной (увеличивать энергию колебаний) в том случае, если сила будет совпадать по фазе не со смещением, а со скоростью. В противном случае на отдельных участках траектории сила будет направлена против движения тела и уменьшать его скорость и, соответственно, максимальное смещение,