Затухающие колебания

Выясним теперь характер колебаний рассмотренной системы при наличии трения. При этом будем полагать, что силы трения пропорциональны скорости тела и противоположно ей направлены. Такими силами, например, являются силы вязкого трения при достаточно малых скоростях движения тела. Если тело выведено из положения равновесия на величину x и при этом имеет скорость , то на него будут действовать квазиупругая сила F=-kx и сила сопротивления движению , где, m - коэффициент сопротивления. По второму закону динамики напишем дифференциаль­ное уравнение движения

Введём обозначения и . C учётом этих обозначений дифференциальное уравнение принимает вид

(316)

Строгое решение этого уравнения рассматривается в теории дифференциальных уравнений. Это же решение можно получить, исходя из следующих соображений. Во-первых, наличие квазиупругих сил свидетельствует о том, что в системе, выведенной из положения равновесия, должны возникнуть колебания. Во-вторых, наличие сил сопротивления движению приводит к тому, что энергия колебательной системы и, следовательно, амплитуда колебаний с течением времени должны уменьшаться, кроме того, сопротивление среды, тормозя движение тела, влияет на быстроту колебаний, т.е. циклическая частота колебаний может зависеть от сопротивления среды. Исходя из сказанного, решение уравнения (316) будем искать в виде

(317)

Если выражение (317) действительно является решением уравнения (316), то после подстановки (317) в (316) мы должны получить тождество:

Очевидно, тождество будет выполняться для любого произвольного момента времени, если будут выполняться следующие условия

(318)

(319)

Из условия (319) получаем дифференциальное уравнение для определения амплитуды колебаний

Разделяя переменные, получаем уравнение, удобное для интегрирования

Решением этого уравнения является функция ,

где А0 - постоянная интегрирования, которую можно определить из начальных условий. Подставив найденное значение амплитуды колебаний в условие (318), получаем:

т.е. частота колебаний действительно отличается от частоты собственных колебаний и равна:

Период колебаний соответственно равен:

С учётом полученных результатов решение исходного дифференциального уравнения движения записывается в виде:

(320)

Это и есть закон колебаний при наличии вязкого трения. Такие колебания называются затухающими.

Скорость и ускорение колебаний тела при наличии вязкого трения определяются соотношениями

(321)

(322)

Рассмотренные колебания являются периодическими (все параметры движения изменяются по периодическому закону). В то же время затухающие колебания нельзя назвать гармоническими. Об этом свидетельствует уже зависимость от времени амплитуды колебаний. К тому же выводу приводит и более подробный анализ периодичности изменения отдельных параметров движения, например смещения и скорости. Действительно, из выражений для смещения и скорости следует, что моменты времени, соответствующие прохождению телом положения равновесия, отвечают условию:

а моменты обращения в нуль скорости тела – условию:

Из этих условий следует, что прохождение телом положения равновесия и обращение в нуль скорости тела происходит с одинаковым периодом. Однако промежутки времени между прохождением положения равновесия и последующим обращением в нуль скорости тела не равны четверти периода, как это имеет место при гармонических колебаниях. Следовательно, и по этой причине затухающие колебания не могут быть гармоническими. Степень "негармоничности" затухающих колебаний определяется величиной коэффициента m.

Таким образом, в рассмотренном случае затухания колебаний амплитуда убывает с течением времени по геометрической прогрессии. Быстрота затухания колебаний определяется величиной потерь энергии колебаний (величиной коэффициента сопротивления движению). Кроме того, с увеличением коэффициента сопротивления уменьшается не только амплитуда колебаний, но и частота, а пе­риод колебаний, соответственно, увеличивается. Следует также отметить, что колебания не могут продолжаться бесконечно долго, как это можно было бы предположить из закона колебаний. Дело в том, что когда амплитуда колебаний становится бесконечно малой, малыми будут и упругие силы. При определённых условиях они не смогут преодолеть сопротивления движению и колебания прекратятся. При достаточно больших коэффициентах сопротивления среды процесс затухания колебаний вплоть до полного их прекращения протекает очень быстро. Может получиться, что система не сможет совершить даже одного полного колебания.

Рис.82
 
 

Такие колебания называют апериодическими. На практике же колебания считают прекратившимися при уменьшении амплитуды колебаний до некоторой заданной доли начального значения амплитуды (обычно до 1%). Графически затухающие колебания и апериодически процесс представлены на рис. 82 и рис.83.

 
 
Рис.83

 


При колебаниях системы в вязкой среде, когда силы сопротивления движению пропорциональны первой степени скорости, амплитуда колебаний убывает с течением времени по геометрической прогрессии, а отношение амплитуд колебаний, отстоящих друг от друга ни один период колебаний, остаётся с течением времени постоянным и равным:

Таким образом, величину этого отношения можно взять в качестве характеристики затухания колебаний, её называют декрементом затухания. Натуральный логарифм этого отношения (называется логарифмическим декрементом затухания)

(323)

Эту важную характеристику затухающих колебаний на практике берут по абсолютному значению, без учёта его знака. Знак "-" физически означает, что с течением времени амплитуда колебаний уменьшается.

В реальных механических колебательных системах затухание стремятся свести к минимуму, затухание при этом становится настолько малым, что уменьшением амплитуды колебаний за один период можно пренебречь. Уменьшение амплитуды становится заметным только через достаточно большой промежуток времени.

Все полученные количественные результаты относительно рассмотренных затухающих колебании справедливы только при наличии вязкого трения. Если же в системе на колеблющееся тело действуют силы сухого трения, то при сохранении качественных выводов (например, амплитуда колебаний с течением времени уменьшается) количественные характеристики будут иными, будет иным и сам характер изменения амплитуды) колебаний.