Механический способ определения площади.

Механический способ заключается в измерении площадей плоских произвольных фигур на плане (карте) с помощью специальных приборов - планиметров, относящихся к семейству механико - математических интеграторов. Они бывают самых разнообразных систем: от очень простых до очень сложных. Примером простейшего планиметра (рис.4.12) может служить планиметр А. Амслера (1854 г.)


Рис.4.12. Планиметр Амслера.

В это же время нашим соотечественником Зарубиным П.А. был изобретён такой же по идее планиметр, но более сложной конструкции. Такие планиметры в настоящее время не применяют.

По конструктивным особенностям современные планиметры различают: полярные и роликовые (линейные). К полярным относят планиметры, у которых одна точка (полюс) во время обвода фигуры неподвижна, а к роликовымлинейным) - у которых все точки прибора во время обвода фигуры подвижны.

По способу фиксации результатов измерений на счетных устройствах различают механические и электронные устройства и в связи с этим появились термины: механические планиметры и электронные (цифровые) планиметры.


Рис. 4.13. Схема механического полярного планиметра.

Полярный планиметр (рис.4.13) состоит из трёх основных частей: двух рычагов и счетного (измерительного) ролика. Один рычаг, называемый полюсным R1, имеет на конце грузик О с иглой, которые обеспечивают неподвижность полюса в процессе работы. Другой конец этого рычага имеет штифт в виде шариковой головки для шарнирного соединения с обводным рычагом R , к которому прикреплены на одном конце обводной шпиль в, а на другом - счетный механизм с счетным роликом, называемым также интегрирующим. Для усиления сцепления счетного ролика с планом (картой) на ободок ролика наносят параллельно его оси или перпендикулярно к его плоскости мельчайшие рифельные штрихи на специальном станке. Ободок счетного ролика с рифельными штрихами является самой ответственной частью планиметра. Поэтому прикосновение потных рук к ободку счетного ролика и хранение планиметра в ненадлежащих условиях приводит к разрушению (коррозии) рифельных штрихов и планиметр оказывается непригодным к работе.

При сборке узла планиметра - счетный механизм и обводный рычаг - ось вращения счетного ролика устанавливают параллельно оси обводного рычага - линии, проходящей через точки а и в (рис.4.13) .

Результат обвода (измерения площади) фигуры определяется вращением счетного ролика, который соприкасается с поверхностью плана. Для отсчета результатов обводов на цилиндрической поверхности счетного ролика нанесены деления. Делением планиметра называют 1/1000 окружности ободка счетного ролика (примерно 0,06 мм). Поэтому отсчет по счетному ролику состоит из четырех цифр. Первую цифру (тысячи делений) отсчитывают по циферблату - относительно индекса младшая, вторую цифру (сотни) подписанную на ролике - младшая относительно нуля верньера, третью (десятки) - целое число делений на счетном ролике прошедших ноль верньера, четвертую (единицы), как число десятых долей деления ролика против нуля верньера - по совпадающим штрихам верньера и ролика.

Для работы планиметр собирается, как показано на рис. 4.14.

За прошедший период времени планиметр подвергался различным усовершенствованиям, например наряду с металлическими обводными шпилями стали применять прозрачное стекло с маленьким кружком с точкой посередине (индексом), благодаря чему контур обводимой фигуры постоянно виден, менялось количество и положение счетных устройств на обводном рычаге и др.

У механического планиметра счетный механизм может перемещаться по обводному рычагу и несколько поворачиваться относительно него для расположения рифельных штрихов параллельно оси этого рычага, т. е. линии ав (рис.4.13).

При измерениях фигуры площадью до 400 см2 на плане (карте) полюс планиметра устанавливается неподвижно вне фигуры, а шарнирное соединение в точке а обеспечивает поворот всей системы вокруг полюса О и изменение угла между рычагами. Прибор имеет три опорные перемещающиеся точки: опорный штифт у обводного шпиля, нижняя точка ободка счетного ролика и дополнительное боковое колесо 10 (рис.4.13) или сферический выступ на нижней плоскости счетного механизма.

Полярные планиметры, как правило, являются компенсационными, т.е. позволяющими выполнять измерения площадей фигур при двух положениях полюса: полюс право (ПП) и полюс лево (ПЛ). Положение полюса определяется относительно счетного механизма, если смотреть на счетный механизм со стороны обводного индекса. Если работать при полюсе право и полюсе лево, то ослабляется влияние погрешностей прибора. Измерение площади при одном положении полюса будем называть полуприемом, а при двух - полным приемом.

Полюс О на плане (карте) располагается так, чтобы при обводе шпилем в по контуру угол между рычагами R1 и R оставался в среднем близким к прямому (не менее 30º и не более 150°). На контуре выбирается начальная точка в таком месте, чтобы угол между рычагами был близким 90º, и по счетному механизму производится первый (начальный) отсчет u1. Далее фигура обводится по ходу часовой стрелки так, чтобы обводный индекс располагался над контуром. Завершается обвод возвращением обводного индекса в исходное положение, после чего по счетному механизму берется второй отсчет u2. Тогда разность n1= u2 - u1 выражает количество делений заключенное в обводимой фигуре.

Для контроля измерений производится второй аналогичный обвод, завершающийся отсчетом u3. Снова определяется разность n2= u3 - u2.


Рис. 4.14. Схема механического планиметра ПП-М: 1 - циферблат; 2 - счетный ролик; 3 - ободок счетного ролика с рифельными штрихами; 4-шкала обводного рычага с верньером; 5-верньер для счетного ролика; 6 -обводная точка (индекс); 7-исправительный винт; 8-колёсико для перемещения счетного механизма; 9-закрепительный винт; 10-опорный ролик; 11-ось шарнирного соединения рычагов; 12-полюс.

Отсчеты по счетному механизму: по циферблату -4; по шкале счетного ролика до нуля верньера -21; по штриху верньера, совпадающему со штрихом счетного ролика -7. Полный отсчет равен 4217.

Для контроля измерений производится второй аналогичный обвод, завершающийся отсчетом u3 и снова определяется разность n2= u3 - u2.

Расхождение ??n?= n1 - n2 между двумя результатами обводов контура не должно превышать трех делений для малых и средних фигур и четырех - для больших. Если ?n недопустимо, осуществляются повтор ные обводы. Значения n, не согласующиеся с другими, вычеркива ются. Из нескольких разностей n, полученных при одном положении полюса за окончательное значение площади принимается среднее.

Аналогичные измерения выполняются и при другом положении полюса. За окончательное значение площади фигуры в делениях планиметра принимается средняя разность из определений при двух положениях полюса.

Если установить цену деления планиметра р, т. е. площадь, приходящуюся на одно его наименьшее деление, то искомая площадь будет равна

Р=рп. (4.3)

  к предыдущему разделу     к следующему разделу  

4. Задачи, решаемые по планам (картам) при изучении местности.

return false">ссылка скрыта

4.13. Геометрическое значение цены деления планиметра и практический способ её определения.

Теоретически цена деления планиметра выражается формулой

р = Rτ,

где R - длина обводного рычага, т.е расстояние от обводного индекса до оси шарнирного соединения рычагов; τ - размер одного деления планиметра.

Обычно R≈160 мм. Величина одного деления τ зависит от диаметра счетного ролика d (обычно близок к 20 мм) и может быть определена по формуле

τ = d π /1000 = 20× 3,14 :1000 = 0,06 мм.

Геометрически цена деления планиметра представляет площадь прямоугольника с основанием, равным длине обводного рычага R, и высотой, равной одному делению планиметра τ, т.е.

р = 160мм×0,06мм ≈ 10 мм2 = 0,1 см2.

Такое значение цены деления планиметра, когда р выражается в квадратных сантиметрах или в квадратных миллиметрах на плане, называется абсолютной.

В инженерной практике пользоваться такой ценой деления нецелесообразно, т.к. величина τ очень мала и определить её с большой точностью трудно. При этом погрешность отсчета по счетному ролику на одно деление сразу же скажется на точности площадей, особенно малых размеров. Поэтому при определении площадей земельных участков на планах обычно пользуются относительной, когда цена деления выражается в квадратных метрах или гектарах на местности, т.е. с учетом масштаба плана.

Чтобы выразить относительную цену деления планиметра как площадь на местности, надо величины τ и R тоже представить на местности, а для этого их умножить на знаменатель численного масштаба плана М. Тогда относительная цена деления планиметра выразится формулой

р = RМτМ = RτМ2.

Однако, по этой формуле цена деления планиметра тоже будет получена с большой погрешностью из-за погрешности определения τ. Поэтому относительную цену деления планиметра определяют, руководствуясь формулой (4.3). Для определения нескольких значений n фигуру, площадь которой известна, обводят при положении полюса вне фигуры. Тогда

р=Р/n ср. (4.4)

Чтобы практически определить р, на плане выбирается удобный для обвода планиметром сравнительно большой участок с известной площадью Р. При наличии координатной сетки на плане берется два или три ее квадрата. При этом, если Р выразить в квадратных сантиметрах или миллиметрах на плане, то по формуле (4.4) получится абсолютная цена деления планиметра; если же Р выразить в квадратных метрах или гектарах на местности, то получится относительная цена деления планиметра.

Пример. Если обводились два квадрата размером 10×10 см координатной сетки на плане масштаба 1: 2 000, то их площадь Р равна (200м×400м) = 80000 м2. Среднее значение разностей при ПП получилось nср=2006, а при ПЛ - nср = 2004 делений, и среднее из двух положений полюса nср = 2005. Тогда относительная цена деления будет

р = 80000 : 2005 = 39,90 м2.

  к предыдущему разделу     к следующему разделу  

4. Задачи, решаемые по планам (картам) при изучении местности.

4.14. Правила работы планиметром.

Наиболее благоприятные условия для обвода площади планиметром будут в случае, когда план (карта) располагаются на горизонтальной ровной поверхности стола.

Обводный индекс следует поместить для начала обвода в конце примерной линии симметрии АВ данного контура (рис.4.15), а полюс - на перпендикуляре, восстановленном из середины М этой линии и притом так, чтобы рычаги R и R1 образовали между собой прямой угол. Тогда при прохождении обводного шпиля в верхней половине фигуры угол между рычагами все время будет тупой, а при прохождении в нижней половине - все время острый, благодаря чему погрешности будут более или менее компенсироваться.

Перед окончательной установкой полюса следует сделать примерный быстрый обвод всего контура, чтобы убедиться, что при обводе не образуется слишком острых (менее 30º) и тупых (более 150º) углов между рычагами планиметра и что ролик все время вращается свободно и не сходит с бумаги. Обвод должен производиться равномерно, не быстро, но и не слишком медленно, причем глаз должен быть расположен по направлению движения индекса (впереди или сзади него), что необходимо для удержания индекса на контуре.


Рис. 4.15. Установка планиметра для обвода.

Рукоятку (поводок) обводного устройства следует держать свободно, без напряжения, чтобы обводный рычаг давил на план только своей тяжестью, потому что иначе под действием прилагаемой силы возможно ослабление давления счетного ролика на бумагу и даже его поднятие, т. е. проскоки в его вращении, приводящие к ошибкам в числе делений.

Полезно также между повторными обводами несколько перемещать полюс планиметра на новое место, чтобы дать возможность ролику катиться по другому пути и тем избавиться от накопления одинаковых погрешностей, зависящих от шероховатости бумаги.

  к предыдущему разделу     к следующему разделу  

4. Задачи, решаемые по планам (картам) при изучении местности.

4.15. Поверки планиметров.

По точности планиметр в большинстве случаев удовлетворяет требованиям землеустройства и кадастра недвижимости, тем более, что погрешность изображения площади контура на плане, вообще говоря, больше погрешности определения её планиметром. Но по производительности труда он значительно отстает от современных требований и главным образом из-за ручного обвода фигур и отсчитываний по счетному механизму. Этот способ целесообразно применять в тех случаях, когда границы участка сильно изломаны.

При получении планиметра должен производиться его осмотр, в процессе которого устанавливаются комплектность, отсутствие механических повреждений, правильность крепления отдельных частей. После этого выполняют поверки и при необходимости юстировку.

Требования к планиметру:

1) Счетный ролик должен свободно вращаться не менее 3 секунд.

При выполнении первой поверки планиметр удерживают в руках и, касаясь пальцем только пластмассового барабана счетного ролика (не ободка !), его раскручивают. Ролик должен быстро вращаться в течение нескольких секунд без ша таний. Если это условие не выполняется, то производится соответствующая регулировка положения оси счетного ролика исправительным (юстировочным ) винтом.

Рис.4.16. Схема планиметра при положении полюс лево (ПЛ): 1 - φ - угол из-за невыполнения основного геометрического условия; 2 - счетный ролик; 3 - обводной индекс; 4 - точка шарнирного соединения; 5 - Ө - угол между полюсным и обводным рычагами; 6 - полюс.

2) Показания счетного ролика должны быть устойчивыми при различных значениях угла Ө(рис.4.16):

  • 1 позиция - 30° < Ө <90°;
  • 2 позиция - Ө ≈ 90°;
  • 3 позиция - 90°< Ө <150°.

Второй поверкой устанавливается сохранность рифельных штрихов - невидимых невооруженным глазом взаимно параллельных между собой и перпендикулярных к плоскости счетного ролика и частично соблюдение основного геометрического условия. При неправильном хранении они могут быть нарушены коррозией, при ударах -деформированы или стерты.

Обводят планиметром при помощи контрольной линеечки круг, по 10 раз в каждой из трех позиций. Средние разности по каждой позиции сравнивают между собой. Если расхождение не превышает трёх делений, то это указывает на удовлетворительное состояние рифельных штрихов. При большем расхождении планиметр необходимо юстировать, так как это говорит о невыполнении основного геометрического условия.

3) Основное геометрическое условие: Рифельные штрихи должны быть параллельны оси обводного рычага, то есть угол φ должен быть равен 0.

При этом под осью обводного рычага понимают линию, проходящую через центр шарнирного соединения 4 и обводный индекс 3 (рис.4.16).

Для поверки основного геометрического условия обводят при помощи контрольной линеечки круг при обоих положениях полюса со средним острым углом между рычагами, чтобы минимальный угол Ө при обводе был близок к 30° (поверка при среднем тупом угле Ө между рычагами менее эффективна). При переводе планиметра из положения полюс право в положение полюс лево, полюс и контрольную линеечку с места не сдвигают во избежание изменения угла между рычагами при разных полюсах и сохранения симметрии в формулах (4.5) и (4.6). Если в результате обводов число делений при обоих положениях полюса получается одно и то или расхождение не превышает трех делений, то условие считается выполненным, в противном случае надо повернуть каретку счетного механизма относительно обводного рычага. Исправление осуществляют в несколько приемов.

При этом теоретическое выражение количества делений n в обводимой фигуре при каждом положении полюса выражается следующими формулами:

nпп =n(cosφ +sinφ ctgθ ), (4.5)

nпл =n(cosφ - sinφ ctgθ), (4.6)

Ө = nпп - nпл= 2n sinφ ctg θ. (4.7)

Если все геометрические условия соблюдены, то при любом положении полюса количество делений n должно быть одинаковым.

Анализируя формулы (4.5),(4.6),(4.7), сделаем следующие выводы:

допустим, что основное геометрическое условие выполнено, то есть φ=0º. Следовательно, sinφ=0, тогда Δ=0, то есть результат при ПП и ПЛ должен быть одинаковым, так как инструментальной погрешности нет;

- представим, что основное геометрическое условие не выполнено, то есть φ, но θ≈900, тогда Δ=0;

- при второй позиции поверку выполнять нецелесообразно, так как не удастся выявить инструментальную погрешность. Поэтому поверку необходимо выполнять при 300<θ<900 или 900<θ<1500;

- поверка и юстировка планиметра обязательны, так как среднее значение делений планиметра из двух положений полюса не свободно от влияния угла φ, т.е. ½ ( nпп + nпл)=n cosφ;

- следовательно, после юстировки планиметра, для уменьшения влияния остаточных погрешностей контуры необходимо обводить при угле θ в среднем близком к 90º.

Действительная точность определения площадей будет значительно меньше вследствие действия не учитываемых планиметром погрешностей съемочных работ и обобщений, искажений при построении планов (карт), их вычерчивании и размножении. На точности определения площадей по планам и картам сказывается также деформация последних.

Определение площадей планиметром крупных участков (землепользований и т. д.) не всегда оправдано, так как в этом случае требуется прежде всего определить площадь участка с достаточно высокой точностью. Если он ограничен на местности многоугольником, вершины которого имеют плоские прямоугольные координаты (определенные по результатам измерений линий и углов на местности), то по ним и вычисляется общая площадь участка. В дальнейшем она считается, как более точная, - теоретической. А площади остальных мелких участков и с.х. угодий внутри крупного участка целесообразно определять планиметром. Тогда имеется возможность контролировать работу планиметра, так как сумма площадей мелких участков и угодий должна равняться общей площади участка, принятой за теоретическую.

Если же общим участком является трапеция государственной разграфки, то ее теоретическая площадь выбирается из специальных таблиц [...].

При сложной конфигурации границ участка или по другим причинам его общую площадь можно определять планиметром из многократных тщательных измерений при ПП и ПЛ .

Иногда общий участок на плане разбивается на меньшие участки- секции с условными границами. Их площади определяются планиметром при обоих положениях полюса. Сумма площадей секций также должна быть равна теоретической.

Во всех случаях находится невязка площади по формуле

ƒр = Σ Рпр - Ртеор. (4.8)

Допустимость невязки устанавливается по формуле

ƒрдоп ≤1/500. (4.9)

Если Ртеор определена планиметром, то приближенно можно принимать

ƒрдоп ≤1/300. (4.10)

Допустимая невязка распределяется с обратным знаком в площади секций пропорционально их размерам.

Принимая исправленные площади секций теоретическими, по формуле (4.5) вычисляются невязки площадей в секциях. Допустимость этих невязок устанавливается по формуле (4.7).

Допустимая невязка распределяется в площади отдельных контуров пропорцианально их площади так же, как и в площади секций.

По исправленным (увязанным) площадям с.х. угодий и других элементов ситуации составляется экспликация, т. е. сводная таблица. В ней приводятся площади, занимаемые одинаковы ми видами угодий и объектов местности.

Если по результатам измерения углов и линий местности вы числены координаты, отнесенные к общегосударственной системе, а планы составлены с использованием этих координат, то все площади будут получены на плоскости в проекции Гаусса. Вследствие этого они окажутся искаженными в сторону их увеличения. Значения этих искажений определяются по приближенной формуле [...]

ΔР = Р(у2/R2) = 2Р(m - 1),

где: у - ордината (расстояние в координатной зоне от ее осевого меридиана до средней точки участка); R - средний радиус Земли; Р - площадь участка; m = Sг : S - масштаб изображения длины линии S на плоскости в проекции Гаусса. Например, при Р=1000 га, у =200 км, ΔР = 0,98 га.

Все отмеченное относится и к площадям, определяемым на общегосударственных крупномасштабных картах.

Если координаты вычисляются в местной системе и длины линий не редуцируются на плоскость в проекции Гаусса, то поправка ΔР не вводится .

При необходимости перехода к площадям наклонных физических поверхностей Земли следует учитывать средний угол наклона этих поверхностей к горизонту.

  к предыдущему разделу     к следующему разделу  

4. Задачи, решаемые по планам (картам) при изучении местности.